P2730 魔板 Magic Squares

题目背景

在成功地发明了魔方之后，鲁比克先生发明了它的二维版本，称作魔板。这是一张有8个大小相同的格子的魔板：

1 2 3 4

8 7 6 5

题目描述

我们知道魔板的每一个方格都有一种颜色。这8种颜色用前8个正整数来表示。可以用颜色的序列来表示一种魔板状态，规定从魔板的左上角开始，沿顺时针方向依次取出整数，构成一个颜色序列。对于上图的魔板状态，我们用序列（1，2，3，4，5，6，7，8）来表示。这是基本状态。

这里提供三种基本操作，分别用大写字母“A”，“B”，“C”来表示（可以通过这些操作改变魔板的状态）：

“A”：交换上下两行；

“B”：将最右边的一列插入最左边；

“C”：魔板中央四格作顺时针旋转。

下面是对基本状态进行操作的示范：

A: 8 7 6 5

1 2 3 4

B: 4 1 2 3

5 8 7 6

C: 1 7 2 4

8 6 3 5

对于每种可能的状态，这三种基本操作都可以使用。

你要编程计算用最少的基本操作完成基本状态到目标状态的转换，输出基本操作序列。

输入输出格式

输入格式：

只有一行，包括8个整数，用空格分开（这些整数在范围 1——8 之间）不换行，表示目标状态。

输出格式：

Line 1: 包括一个整数，表示最短操作序列的长度。

Line 2: 在字典序中最早出现的操作序列，用字符串表示，除最后一行外，每行输出60个字符。

输入输出样例

输入样例#1：

2 6 8 4 5 7 3 1

输出样例#1：

7 
BCABCCB

说明

题目翻译来自NOCOW。

USACO Training Section 3.2

Solution：

　　本题显然没啥好方法，于是只能搜。关键是如何搜，并保存状态。这里我参考了这篇博客。

　　首先，我们考虑到状态数一共就是$8!$个（即$1-8$的全排列）,一共有$40320$种不同状态，而每个状态含$8$个变量，那么如何去建立状态的$hash$表呢？貌似巨佬们都是用的康托展开（又要挖坑去补了～），很显然至少我现在不会，所以去看了上面的那篇博客，$hash$方法极其精妙。

　　我们用基数转换法，由于每个状态实际是$1-8$的排列，于是将每个状态的每一位上的数都$-1$转换为$8$进制数，这样显然每个$8$进制数只会对应$1$种状态，而且最大的状态也就$(76543210)_8=(16434824)_10$，于是我们开一个$vis$数组就能判重了。实现时通过位运算，也很好对$8$进制的数进行处理！

　　很明显，四万多个状态深搜怎么都会超时，$so$直接去$bfs$。

　　具体实现时，开一个表存$3$种变换，再转换目标状态和初始状态，判断一下是否已经相等。不想等则入队，对队首状态尝试$3$种操作得到新状态并入队（记得判重）,小技巧是队列开二维$que[i][k],\;i\leq 40320,\;k\in [0\;or\;1]$，其中$que[i][k],k=0$表示队列中第$i$个状态是由哪个状态转移过来的（即操作次数，因为每次队首移动意味着一次操作），$que[i][k],k=1$表示队列中第$i$个状态是通过什么操作转移过来的。这样当搜到目标状态后，输出当前状态由哪个状态转移而来即操作次数，直接从当前状态往前面状态回溯就能找到具体的操作方法。

　　（代码风格借(co)鉴(py)上面介绍的那个博客，太菜了自己代码写得太烂～手动滑稽～）

代码：

 1 // luogu-judger-enable-o2
 2 #include<bits/stdc++.h>
 3 #define il inline
 4 #define ll long long
 5 using namespace std;
 6 int ch[3][9]={
 7     {0,8,7,6,5,4,3,2,1},
 8     {0,4,1,2,3,6,7,8,5},
 9     {0,1,7,2,4,5,3,6,8},
10 },ha[50000][9],a[9],que[50000][2],now,ed,cnt;
11 char ans[50000];
12 bool vis[17000000];
13 int main()
14 {
15     ios::sync_with_stdio(0);
16     int x;
17     for(int i=1;i<=8;i++)cin>>x,ed=(ed<<3)+x-1;
18     for(int i=1;i<=8;i++)ha[1][i]=i-1,now=(now<<3)+ha[1][i];
19     if(now==ed){cout<<0;return 0;}
20     vis[now]=1;
21     int head,tail=1;
22     while(head<tail){
23         head++;
24         for(int i=0;i<3;i++){
25             now=0;
26             for(int j=1;j<=8;j++)
27                 a[j]=ha[head][ch[i][j]],now=(now<<3)+a[j];
28             if(vis[now])continue;
29             vis[now]=1;
30             que[++tail][0]=head,que[tail][1]='A'+i;
31             ha[tail][0]=ha[head][0]+1;
32             for(int j=1;j<=8;j++)ha[tail][j]=a[j];
33             if(now==ed){
34                 cout<<ha[tail][0]<<endl;x=tail;
35                 while(que[x][0])ans[++cnt]=que[x][1],x=que[x][0];
36                 while(cnt)cout<<ans[cnt--];
37                 return 0;
38             }
39         }
40     }
41 }

$(76543210)_{8} = (16434824)_{10}$