常用随机变量及其概率分布

一、常用的离散型随机变量及其概率分布

1、（0-1）分布（伯努利分布(Bernoulli distribution)、两点分布）

如果随机变量Ｘ 只可能取０与１两个值，其概率分布为：

或写成

则称随机变量Ｘ 服从（０－１）分布或两点分布．它的概率分布也可以写成

2、二项分布

在ｎ重伯努利试验中，如果以Ｘ表示事件Ａ 出现的次数，则Ｘ是一个离散型随机变量，它的所有可

能取值是０，１，２，⋯，ｎ．设Ｐ（Ａ）＝ ｐ（０＜ ｐ＜１）。典型例子是扔硬币，硬币正面朝上概率为p, 重复扔n次硬币，k次为正面的概率即为一个二项分布概率。概率函数为

显然，

3、多项式分布

把二项分布公式再推广，就得到了多项分布。比如扔骰子，不同于扔硬币，骰子有6个面对应6个不

同的点数，这样单次每个点数朝上的概率都是1/6（对应p1~p6，它们的值不一定都是1/6，只要和为1且

互斥即可，比如一个形状不规则的骰子）,重复扔n次，如果问有x次都是点数6朝上的概率就是：

4、几何分布

设试验Ｅ只有两个可能的对立的结果Ａ 及Ａ非，并且Ｐ（Ａ）＝ ｐ，Ｐ（Ａ非）＝１－ ｐ，其中０＜ ｐ＜１．将试验Ｅ独立地重复进行下去，直到事件Ａ发生为止．如果以Ｘ表示所需要的试验次数，则Ｘ是一个随机变量，它可能取的值是１，２，３，⋯．由于事件｛Ｘ ＝ ｋ｝表示前ｋ－１次试验中事件Ａ都没有发生，而在第ｋ次试验中事件Ａ 发生，因此

我们称随机变量Ｘ 服从几何分布。

5、泊松分布

设随机变量Ｘ 的所有可能取值为０，１，２，⋯，并且

其中λ＞０是常数，则称随机变量Ｘ服从参数为λ的泊松分布，记作Ｘ～π（λ）．易知

在实际问题中经常会遇到服从泊松分布的随机变量．例如，在一个长为τ的时间间隔内某电话交换台收到的电话呼叫次数；某医院在一天内来急诊的病人数；某一本书的一页中的印刷错误数等都服从泊松分布．

二、连续型随机变量及其概率密度

1、均匀分布

设连续型随机变量Ｘ 的概率密度为：

则称Ｘ在区间［ａ，ｂ］上服从均匀分布．Ｘ 的分布函数为

Ｘ的概率密度和分布函数的图形分别如图所示：

2、指数分布

设连续型随机变量Ｘ 具有概率密度

其中θ＞０是常数，则称Ｘ服从参数为θ的指数分布．Ｘ的分布函数为

Ｘ的概率密度及分布函数的图形分别如图所示：

实际问题中的许多随机变量，例如电子元件的寿命，旅客在车站售票处购买车票需要等待的时间等都可以看成是服从指数分布。

3、正态分布

设随机变量Ｘ 具有概率密度

其中μ，σ（σ＞０）为常数，则称Ｘ服从参数为μ，σ的正态分布，记作Ｘ～ Ｎ（μ，σ２）．Ｘ的分布函数为

它们的图形分别如图所示：

容易看到概率密度曲线ｙ＝ ｆ（ｘ）关于直线ｘ＝ μ对称，并在ｘ＝ μ处取得最大值，在横坐标ｘ＝ μ± σ处有拐点，以ｘ轴为水平渐近线．

如果μ＝０，σ＝１，则称Ｘ服从标准正态分布，记作Ｘ～Ｎ（０，１）．它的概率密度及分布函数分别记作φ（ｘ）与Φ（ｘ），即

参考资料：随机数学 吉林大学数学学院 高文森，潘伟　主编