sincerit 1576 A/B 扩展欧几里得

1576 A/B
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Problem Description
要求(A/B)%9973，但由于A很大，我们只给出n(n=A%9973)(我们给定的A必能被B整除，且gcd(B,9973) = 1)。

Input
数据的第一行是一个T，表示有T组数据。
每组数据有两个数n(0 <= n < 9973)和B(1 <= B <= 10^9)。

Output
对应每组数据输出(A/B)%9973。
Sample Input
2
1000 53
87 123456789
Sample Output
7922
6060

分析（从大佬那抄过来的以后可以看看）：https://blog.csdn.net/zwj1452267376/article/details/50151161

n=A%9973，则n=A-A/99739973。又A/B=x，则A=Bx。所以Bx-A/99739973=n。即Bx-9973y=n。
在这里我们知道只要求出x的值就能算出x%9973的值，也就是(A/B)%9973的值。
利用扩展欧几里德算法可求出gcd(B,9973)=Bx1+9973y1=1的x1。题中说gcd(B,9973)=1；所以等式两边同乘以n，得B(nx1)-9973(-ny1)=n。可知nx1就是Bx-9973y=n的解了！！！即x=nx1。

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
void extgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) {  // Bx - 9973y = 1 最后两边乘n 
  if (b == 0) {
    x = 1;
    y = 0;
    return;
  } else {
    extgcd(b, a%b, y, x);
    y -= (a / b) * x;
  }
}
int main() {
  ll B, n, m;
  cin >> m;
  while (m--) {
    cin >> n >> B;
    ll x, y;
    extgcd(B, 9973, x, y);
    x *= n; // 两边同乘n
    // x <= 0时 因为答案在0~9972内
    x = (x%9973 + 9973) % 9973;
    printf("%lld\n", x);
  }
  return 0;
}

数学分析法：把所有未知的变量用已知的变量替换
思路：设X=（A/B）%9973
因为n=A%9973，所以A=k9973+n (k为一常数)
又因为X=（A/B）%9973，所以A/B=d9973+X （d为一常数）
两边同乘以B，得：A=Bd9973+BX
又因为 A = k9973 + n;
k9973 + n = Bd9973 + Bx
把n移到右边：
k9973 = Bd9973 + Bx - n
所以题意转为只要满足（B*X-n）%9973=0，X即为要求的结果。n的值知道，B的值知道，又因为x的取值范围是0到9972，因此枚举x的值即可，满足条件的就是答案。

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <cstring>
#include <algorithm>
typedef long long ll;
using namespace std;
int main() {
  ll B, n, m, i;
  cin >> m;
  while (m--) {
    cin >> n >> B;
    for (i = 0; i <= 9972; i++)
      if ((B*i-n) % 9973 == 0) break;
    cout << i << "\n"; 
  }
  return 0;
}

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