H - 卡牌游戏（简单期望）

Description

小贝喜欢玩卡牌游戏。某个游戏体系中共有N种卡牌，其中M种是稀有的。小贝每次和电脑对决获胜之后都会有一个抽卡机会，这时系统会随机从N种卡中选择一张给小贝。普通卡可能多次出现，而稀有卡牌不会被重复抽到。小贝希望收集到K种稀有卡牌，她想知道期望需要多少次获胜才能实现这个目标。

输入描述:

数据有多组，第一行一个整数T表示数据组数。
每组数据一行，三个整数N,M,K .

输出描述:

对于每组数据，输出形如"Case #x: y"，其中 x 为这组数据的编号（从1开始），y 为这组数据的答案。答案的绝对误差或相对误差在 $10^{-6}$ 以内都认为是正确的。

备注

1 ≤ T ≤ 100
1 ≤ N ≤ 105
1 ≤ M ≤ N
1 ≤ K ≤ M

Sample Input

2
5 2 1
40 9 5

Sample Ouput

Case #1: 2.5
Case #2: 28.1146825397

Source::传送门

题解

题意：N种牌，M种稀有，每抽一次，会随机从N种牌中抽取一张，但M种稀有牌不会重复抽到。现在想得到K种稀有卡牌，问抽牌的次数期望是多少。

第一次做期望题目，有点迷。关键解题就是得推公式了！

推导过程：

1.当k = 1 时：第一次抽到概率 $\frac{M}{N}$

第二次抽到概率为 $\frac{(N-M)}{N}$ * $\frac{M}{N}$

....

第n次的抽到的概率为 $\left ( \tfrac{N-M}{N} \right )^{n-1}$ * $\tfrac{M}{N}$

期望 E= 1* $\frac{M}{N}$ + 2 * $\frac{(N-M)}{N}$ * $\frac{M}{N}$ * $\left ( \tfrac{N-M}{N} \right )^{n-1}$ * $\tfrac{M}{N}$ = $\frac{1-\left (\tfrac{N-M}{N}\right )^{n}}{1-\left (\tfrac{N-M}{N}\right )}$ - n * $\left (\tfrac{N-M}{N}\right) ^{n}$ （错位相减求和）

当 $n \to +\infty$ 时, 由单调性等可判断出 E= $\tfrac{N}{M}$

2.当k = 2时，因为M种稀有牌不会重复得到，所以可以分解为两个子问题,即可理解为先从N种牌，M种稀有种得到一个，再从N-1种牌，M-1种稀有种得到1种。所以E = $\tfrac{N}{M}$ + $\frac{N-1}{M-1}$ .

3.依次类推 E = $\sum_{i = 0}^{K-1}\tfrac{N-i}{M-i}$ 。

AC Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
const int MAXN = (int)1e5+10;
const int INF = 0x3f3f3f3f;

int main()
{
    int T, n, m ,k, id = 0;
    cin>> T;
    while(T--)
    {
        id++;
        cin>> n >> m >> k;
        double ans = 0;
        for(int i=1; i<=k; i++)
        {
            ans += 1.0 * n / m;
            n--; m--;
        }
        printf("Case #%d: %lf\n",id,ans);
    }
    return 0;
}