图的最小生成树Kruskal算法

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克鲁斯卡尔（Kruskal）算法（只与边相关）

算法描述：克鲁斯卡尔算法需要对图的边进行访问，所以克鲁斯卡尔算法的时间复杂度只和边又关系，可以证明其时间复杂度为O（eloge）。
算法过程：
1.将图各边按照权值进行升序排序
2.将图遍历一次，找出权值最小的边，（条件：此次找出的边不能和已加入最小生成树集合的边构成环），若符合条件，则加入最小生成树的集合中。不符合条件则继续遍历图，寻找下一个最小权值的边。
3.递归重复步骤1，直到找出n-1条边为止（设图有n个结点，则最小生成树的边数应为n-1条），算法结束。得到的就是此图的最小生成树。

克鲁斯卡尔（Kruskal）算法因为只与边相关，则适合求稀疏图的最小生成树。而prime算法因为只与顶点有关，所以适合求稠密图的最小生成树。
具体算法如下：有用到并查集的算法思想，具体可以自己百度“并查集”了解

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

struct edge      //边结构，存储边的两个节点及边的长度
{
    int start_point;
    int end_point;
    int length;
};

const int N = 100;  //设置最多的节点数为100
edge Edge[N];
int pre[N];         //pre数组保存节点的根节点信息，初始化为本身

bool cmp(edge a, edge b)   //排序函数的比较因子，按照边的长度、节点序号的升序排列
{
    if (a.length == b.length)
    {
        if (a.start_point == b.start_point)
        {
            return a.end_point < b.end_point;
        }
        else
            return a.start_point < b.start_point;
    }
    else
        return a.length < b.length;
}

int find(int x)               //查找节点x的根节点，并进行路径压缩，具体细节可以百度“并查集”
{
    int r = x;
    while (pre[r] != r)
    {
        r = pre[r];
    }
    int i = x;
    int j;
    while (i != r)
    {
        j = pre[i];
        pre[i] = r;
        i = j;
    }

    return r;
}


int main()
{
    int n, m, i, j, k, v, w;
    int s, e, length;
    int sum = 0;

    cin >> n;                       //输入边的数目
    for (i=0; i<n; ++i)             //初始化，存储边的信息，节点号我们按照从1开始
    {
        cin >> s >> e >> length;
        Edge[i+1].start_point = s;
        Edge[i+1].end_point = e;
        Edge[i+1].length = length;
    }

    for (i=0; i<n; ++i)
    {
        pre[i+1] = i + 1;            //初始化节点根节点信息
    }

    sort(Edge+1,Edge+n+1,cmp);       //对边的信息按照长度升序排序

    for (i=0; i<n; ++i)               //遍历所有的边
    {
        k = Edge[i+1].start_point;
        v = Edge[i+1].end_point;
        k = find(k);                  
        v = find(v);                 

        if (k != v)                   ////查找这条边的两个节点是否位于同一个连通分支,若不是，则将该边加入进去，并将它们的根节点连通起来（pre[k] = v）   
        {
            sum += Edge[i+1].length;
            pre[k] = v;
            cout << Edge[i+1].start_point << "->" << Edge[i+1].end_point << Edge[i].length << endl;
        }
    }

    cout << sum << endl;
    system("pause");
    return 0;
}

如有错误，欢迎指出。