DTOJ 4019 白玉楼前

白玉楼前
【题目背景】
“一觉醒来怎么半灵又不见了？一定是幽幽子吃了。”
“幽幽子你给我吐出来！”
“我这边有个游戏玩不过去，你帮我玩过去我就吐出来。”
【题目描述】
妖梦现在要玩幽幽子的游戏，她才能拿回自己的半灵。
游戏规则是这样的：
幽幽子有 $n$ 个点，现在她让妖梦对每个点随机一条出边(随机到每个点的概率都相等)，
然后得到一张图。(注意：可以自环)
如果这张图任意一个点沿着边走两步（显然这样的走法唯一）都能到达自身，则幽幽子可以通关。
现在幽幽子想问妖梦，她通关的概率是多少？
两个图不同，当且仅当存在一条边出现在图A 中且不出现在图B 中。图中的点有编号，边无编号。
答案 $mod$ $998244353$
【输入格式】
第一行一个数 $T$ 表示数据组数：
下面T 行，每行中只有一个数，表示 $n$ 。
【输出格式】
输出T 行，每行一个数表示答案。
【样例输入】
1
1
【样例输出】
1
【样例解释】
只有 $1->1$ 这种情况，且符合题意。

【数据范围】
$T \leq 5\times 10^5,n\leq 5\times 10^5$

题解：
~~（最近是出题人比较喜欢东方吧QAQ，上次是兔子，这次就成幽幽子了。。）~~

问题就是转化为求一个排列的对偶排列个数。

先考虑方案数。
设 $f_{i}$ 表示合法的方案数。
对于一个 $n-1$ 个点的图，考虑对于第 $n$ 个点，可以有两种情况，
一个是它单独形成了一个自环，一个是与前 $（i-1）$ 个点中的一个点手牵手形成一个环，就剩下 $(i-2)$ 个点的方案惹。。。

//orzlkw
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define in inline
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define repd(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define For(i,a,b) for(int i=a;i<b;i++)
#define _(d) while(d(isdigit(ch=getchar())))
#define shenben puts("orzlkw");
template<class T>in void g(T&t){T x,f=1;char ch;_(!)ch=='-'?f=-1:f;x=ch-48;_()x=x*10+ch-48;t=f*x;}
typedef long long ll;
const ll mod=998244353;
const int N=5e5+233,L=5e5;
ll f[N];
in ll qp(ll x,ll y){
    ll res=1;x%=mod;
    while(y){
        if(y&1) res=res*x%mod;
        x=x*x%mod;y>>=1;
    }return res%mod;
}
in ll inv(ll x){
    return qp(x,mod-2);
}
int main(){
    freopen("youmu.in","r",stdin);freopen("youmu.out","w",stdout);
    f[1]=1,f[2]=2;
    rep(i,3,L) f[i]=(f[i-1]+(i-1)*f[i-2]%mod)%mod;
    int T;g(T);
    while(T--){
        ll x;g(x);
        ll sum=qp(x,x)%mod;
        ll ans=f[x]*inv(sum)%mod;
        printf("%lld\n",(ans%mod+mod)%mod);
    }
    return 0;
}

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