正睿 2018 提高组十连测 Day4 T3 碳

记'1'为+1,'0'为-1;
可以发现

pre[i],suf[i]分别为前/后缀和

a[i]=max(pre[l.....i]);

b[i]=max(suf[i+1....r]);

ans=max(a[l]+b[l],a[l+1]+b[l+1],........a[r]+b[r]);

即ans=最大的不相交的(前缀和+后缀和)

证明：
首先下界是显然的，即不可能比这个答案更小。
至于上界， 可以大力分类讨论证明。

比如
假如存在一个后缀不合法
设ans=pre[l]+suf[r];
设这个不合法的后缀位置为k。
k>l时:
此时suf[r]显然可以在保证pre[l]不变的情况下找到一个更大的取值，矛盾。

k<l时:
此时有一个显然的结论是
t=sum[l+1..r-1]<=0
因为>0的话显然可以再保证pre[l]不变的情况下找到一个更大的suf[r]。
再设p=sum[k..l-1]，p+t显然大于0
显然这时答案不会超过pre[l]-p+suf[r]+p+t=pre[l]+suf[r]+t
因为t<=0，不会更优

得证

最后，用线段树维护即可
每一个节点保存对应区间的区间和，最大前缀，最大后缀，答案

#include<iostream>
#include<cctype>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#define N 220000
#define eps 1e-7
#define inf 1e9+7
#define ll long long
using namespace std;
inline int read()
{
    char ch=0;
    int x=0,flag=1;
    while(!isdigit(ch)){ch=getchar();if(ch=='-')flag=-1;}
    while(isdigit(ch)){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*flag;
}
struct tree
{
    int tot,pre,suf,ans;
}node[N*4];
tree operator+(tree a,tree b)
{
    tree ans;
    ans.tot=a.tot+b.tot;
    ans.pre=max(a.pre,b.pre+a.tot);
    ans.suf=max(b.suf,a.suf+b.tot);
    ans.ans=max(a.pre+b.suf,max(a.ans+b.tot,b.ans+a.tot));
    return ans;
}
char s[N];
struct Segment_Tree
{
    #define lson o<<1
    #define rson o<<1|1
    #define mid ((l+r)>>1) 
    inline void pushup(int o)
    {
        node[o]=node[lson]+node[rson];
    }
    void build(int o,int l,int r)
    {
        if(l==r)
        {
            if(s[l-1]=='1')node[o]=(tree){1,1,1,1};
            else node[o]=(tree){-1,0,0,0};
            return;
        }
        build(lson,l,mid);
        build(rson,mid+1,r);
        pushup(o);
    }
    tree query(int o,int l,int r,int ql,int qr)
    {
        if(ql<=l&&r<=qr)return node[o];
        bool flag1=ql<=mid,flag2=qr>mid;
        if(flag1&&flag2)
        return query(lson,l,mid,ql,qr)+query(rson,mid+1,r,ql,qr);
        else
        {
            if(flag1)return query(lson,l,mid,ql,qr);
            if(flag2)return query(rson,mid+1,r,ql,qr);
        }
    }
}T;
int main()
{
    int n=read(),m=read(),i,l,r;
    scanf("%s",s);
    T.build(1,1,n);
    for(i=1;i<=m;i++)
    {
        l=read();r=read();
        printf("%d\n",T.query(1,1,n,l,r).ans);
    }
    return 0;
}