前言

本篇开始，梳理总结数据结构与算法。虽然开的系列都比较多，可是都很重要。
数据结构和算法是区分程序员和码农的标志之一，当然我认为软件工程师比程序员更高级一些哈。
系列中每篇都是消化吸收以后再整理的，以此来标识自己这部分已经理解了。
咳咳咳，我们学习他们的目的也只是为了应用，像是什么数据推理证明之类的，呃，脱离场景都是耍流氓，我又不做算法方向，花这么大经历去研究证明过程之类的，mdzz吗？所以以后文章都是偏应用方向。

基础

如果说数据结构和算法是编程的基础之一的话，那么接下来几个概念就是数据结构与算法的通用基础：

时间复杂度
空间复杂度

而他俩的理论基础又是：

大O表示法
几个小小数学方面的

OK，一个个来。

基础的基础

大O表示法

先来看两个函数的坐标图像，他们是：
$f(n) = logn,f(n) = n ^ 2$
坐标图为：
在这里插入图片描述
可以看到，黄色曲线的增长趋势远远大于蓝色曲线的增长趋势。此时，n才取值30，如果 $n → \infty$
那么二者的差异将会非常非常大。
在算法领域中，这个增长趋势我们就用 大O表示法 表示。
所以 $O(n^2)$
就表示 纵坐标y的值 随 横坐标n 的增长趋势，该增长趋势就是 $n^2$ 这个函数的图像。
说完了，关于 y轴 具体指代什么，稍后再说。

几个数学方面的

上文说的大O表示法，我们可以在 $n→\infty （式1）$ 的情境下去看。
比如 $n^2 + n + 1 （式2）$ ，当处于 式1 的情况下，由于大O表示法表达的是 y轴数值的增长趋势。假如 n 分别等于 1，1亿，很明显，起决定作用的是：
$当n = 1 时:n^2 = 1, n = 1;$
$当n = 1亿时:n^2 = 1亿亿，n = 1亿。$
很明显，是 $n^2$ 。
所以 $O(n^2 + n + 1) ≈ O(n^2)$
。说这个的意思呢，就是说尽管 式2 是一个多项式，但是在大O分析法的场景下，我们只看对于增长趋势影响最大的项。
证明也很好证明：增长趋势顾名思义就是增长比例么，也就相当于是 y / x 。
式子2除以 n以后就变成了：
$n + 1 + \frac{1}{n}, n → \infty$ ，可以进一步简化成 $n$ ，
所以对于增长趋势影响最大的就是第一项， $n^2$ 。

常见的函数图像

在算法领域中，总共就几种需要掌握的函数图像，如下图：
在这里插入图片描述
在大O表示法下，他们表示的都是增长趋势，大家可以除以n后自行证明哪个大哈，看图也一样。
结论：
$2 ^ n > n ^2 > nlog(n) > n > log(n) > 1(常数)$

时间与空间复杂度

评价算法性能就是看运行时间和存储空间占用的。为什么是这两个参数呢？
我认为应该是这样子的：结合冯诺依曼体系结构来看，计算机由：存储器，计算器，控制器和输入输出设备组成。而输入输出设备和控制器无需考虑，所以就剩下存储器和计算器了。算法在单台机器上来说不就是要减少计算和存储吗？愚见。
嗯，所以就引出了 时间复杂度 和 空间复杂度 的概念。

时间复杂度

上文的大O表示法中，y轴的坐标值一直没有具体定义。我们假设机器执行每条指令的时间都是一样，比如是1个时间单位，所以就相当于执行c条指令花费的时间单位就是c。
在分析算法的时间复杂度时，我们把大O表示法的纵坐标轴表示为程序执行花费的时间（或者说指令执行的次数），所以：
时间复杂度O(n)就表示为：程序正确执行完毕花费时间的增长趋势。而具体 $O(n^2) 是否大于O(nlogn)$ 则是看括号中的函数，也就是上文中的图片，可知，是大于的。

空间复杂度

和时间复杂度一样，在计算空间复杂度时，O(n)就表示程序正确执行完笔花费空间的增长趋势，实际要比时间复杂度情景下简单。

简单练习

做个练习表示结束，分成两讲吧，快写吐了。
比如，分析下列程序的时间和空间复杂度：

void atom(int n) {
	int arr[n];
	int i;
	
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		arr[i] = i;
	}
}

时间复杂度为：不论n多大，2,3行代码都是1次，第5行for循环体内是n次，第6行for循环体内为n次，所以总体为：n + n + 1 + 1，我们学习过，只看影响最大的，那么就是 2n，进一步简化成几个基本函数，最终就是 n。所以：
时间复杂度为：O(n)。
空间复杂度为：i 之占1个单位，arr 数组占n个，所以最终:
空间复杂度为：O(n)

数据结构与算法系列（一）：时间复杂度和空间复杂度

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