bzoj 1076 奖励关

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Description

你正在玩你最喜欢的电子游戏，并且刚刚进入一个奖励关。在这个奖励关里，系统将依次随机抛出\(k\)次宝物,每次你都可以选择吃或者不吃（必须在抛出下一个宝物之前做出选择，且现在决定不吃的该个宝物以后也不能再吃）。
宝物一共有\(n\)种，系统每次抛出这\(n\)种宝物的概率都相同且相互独立。也就是说，即使前\(k-1\)次系统都抛出宝物\(1\)(这种情况是有可能出现的，尽管概率非常小），第\(k\)次抛出各个宝物的概率依然均为\(1/n\)。获取第\(i\)种宝物将得到\(P_i\)分，但并不是每种宝物都是可以随意获取的。第i种宝物有一个前提宝物集合\(S_i\)。只有当\(S_i\)中所有宝物都至少吃过一次，才能吃第\(i\)种宝物（如果系统抛出了一个目前不能吃的宝物，相当于白白的损失了一次机会）。注意，\(P_i\)可以是负数，但如果它是很多高分宝物的前提，损失短期利益而吃掉这个负分宝物将获得更大的长期利益.假设你采取最优策略，平均情况你一共能在奖励关得到多少分值？

Input

第一行为两个正整数\(k\)和\(n\)，即宝物的数量和种类。以下\(n\)行分别描述一种宝物，其中第一个整数代表分值，随后的整数依次代表该宝物的各个前提宝物（各宝物编号为\(1\)到\(n\)），以\(0\)结尾。

Output

输出一个实数，保留六位小数，即在最优策略下平均情况的得分。

Sample Input

1 2
1 0
2 0

Sample Output

1.500000

HINT

\(1<=k<=100,1<=n<=15\)，分值为\([-10^6,10^6]\)内的整数。

Solution

考虑记忆化搜索,\(dfs(k,S)\)表示从第\(k\)轮开始,当前已经取得的宝物集合为\(S\),还可以获得的最大期望收益.
枚举每种宝物\(i\),若该宝物不可以取,贡献为\(dfs(k+1,S)/n\).
否则,贡献为取和不取的最大值,即\(Max(dfs(k+1,S),dfs(k+1,S|i)+w[i])/n.\)

#include<bits/stdc++.h>
#define neginf -1e9
using namespace std;
typedef long long LoveLive;
inline int read()
{
    int out=0,fh=1;
    char jp=getchar();
    while ((jp>'9'||jp<'0')&&jp!='-')
        jp=getchar();
    if (jp=='-')
        {
            fh=-1;
            jp=getchar();
        }
    while (jp>='0'&&jp<='9')
        {
            out=out*10+jp-'0';
            jp=getchar();
        }
    return out*fh;
}
const int MAXN=16;
double f[101][1<<MAXN];
int s[MAXN];
int w[MAXN];
int n,m;
double dfs(int k,int S)//当前正在第k轮,已获得的宝物集合为S,还能获得的最大期望收益. 
{
    if(k>m)
        return 0.0;
    if(f[k][S]>neginf+1.0)
        return f[k][S];
    double &res=f[k][S];
    res=0.0;
    for(int i=1;i<=n;++i)
        {
            int flag=((S|s[i])==S);//flag表示这个数能否被选择 
            if(!flag)
                res+=dfs(k+1,S);
            else
                res+=max(dfs(k+1,S),dfs(k+1,S|(1<<(i-1)))+(double)w[i]);
        }
    res/=n;
    return res;
}
int main()
{
    m=read(),n=read();
    for(int i=1;i<=n;++i)
        {
            w[i]=read();
            while(1)
                {
                    int p=read();
                    if(!p)
                        break;
                    s[i]|=(1<<(p-1));
                }
        }
    int MAXS=(1<<n)-1;
    for(int i=1;i<=m;++i)
        for(int j=0;j<=MAXS;++j)
            f[i][j]=neginf;
    double ans=dfs(1,0);
    printf("%.6lf\n",ans);
    return 0;
}