图像处理与分析(数字图像处理第二版)学习笔记(4.2)

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第四章 频率域增强

1,频率域中滤波基础?

频率域滤波基础根据傅里叶变换的平移性质:f(x,y)e^{-2j\pi (u_{0}x/M+v_{0}/N)}<->F(u-u_{0},v-v_{0})当u0=M/2,v0=N/2根据欧拉公式可化为 :f(x,y)(-1)^{^{x+y}}<->F(u-M/2,v-N/2).

第一步,将输入的原图像乘以(-1)^(x+y)进行中心变换;

第二步,计算变换后图像的DFT(离散傅里叶变换);

第三步,用滤波函数H(u,v)乘以F(u,v);

第四步,计算反DFT;

第五步,将结果取实部;

第六步,用(-1)^(x+y)乘以第五步结果。

H(u,v)被称为滤波器(常用术语“滤波器传递函数”),原因是因为它在变换中抑制某些频率但是其他不受影响,类似生活中的筛子,将某些特定尺寸的物体通过而阻止其他物体。

2,常用基本滤波器及其性质?

①陷波滤波器

性质:设置F(0,0)=0其他部分不受影响。

②低通滤波器与高通滤波器。

低通:低频(平滑区域)通过高频衰减。高通:高频(图像中尖锐细节部分,如边缘)通过,低频衰减。突出细节。

③带通滤波器与带阻滤波器。

特定频率段范围通过或被截止。

④高斯滤波器函数

一维高斯函数的傅里叶变换还是高斯函数

函数 的傅立叶变换为

然后利用傅里叶变换的尺度不变性可证明:

频域高斯滤波器函数:

空域高斯滤波器:

3,三种低通频率域滤波器?

频率域中基本的滤波模型:G(u,v)=H(u,v)F(u,v),F(u,v)是被平滑的图像傅里叶变换。目的是选择H(u,v)滤波器变换函数,使得F(u,v)的高频成分被衰减而得到G(u,v)。衰减高频成分可以使图像进行模糊。

设频率矩形中心:(u,v)=(M/2,N/2)

在频率域中点(u,v)到频率矩形中心距离:

①理想低通滤波器(ILPF)

D(u,v)表示(u,v)点距离频率矩形原点的距离。D0为指定非负距离。

对于空域滤波相应过程:g(x,y)=h(x,y)*f(x,y)。h(x,y)在原点处的一个主要成分及中心成分周围集中,呈周期形式。中心成分决定了模糊,集中成分决定了振铃现象。

滤波器函数透视图:

②巴特沃斯低通滤波器(BLPF)

n级巴特沃斯(BLPF)低通滤波器,截止频率距离原点的距离设为D0,传递函数为:

滤波器函数透视图:

与理想低通滤波器区别是,在通带频率与被滤出的频率之间没有明显的截断。由于低频和高频之间平滑过渡,一阶情况因此不会出现振铃现象。二阶情况振铃现象微小。越高阶振铃现象越为明显。

③高斯低通滤波器(GLPF)

H(u,v)=e^{-D(u,v)^2}/\2\sigma ^{2}其中D(u,v)为距离傅里叶变换原点的距离。最大值为1。设\sigma ^2=D_0^2,则H(u,v)=e^{-D(u,v)^2}/D_{0}^{2}左边δ表示高斯函数曲线扩展程度,D0表示截止频率。此时H变为e^(-1/2)=0.607。

滤波器透视图:

高频与低频之间更为平滑,高斯低通滤波器不会产生振铃现象。

4,频率域锐化滤波器?

对理想低通滤波器进行反操作:H_{hp}(u,v)=1-H_{lp}(u,v)

①理想高通滤波器(IHPF):

②巴特沃斯高通滤波器(BHPF):

③高斯高通滤波器(GHPF):

H(u,v)=1-e^{-D(u,v)^2/2D_{0}^{2}}

④频率域的拉普拉斯算子:

\Im [\frac{\partial^n f(x) }{\partial x^n}]=(j2\pi u)^nF(u)

\Im [\frac{\partial^2 f(x,y) }{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f(x,y) }{\partial y^2}]

=(j2\pi u)^2F(u,v)+(j2\pi v)^2F(u,v) =-4\pi ^2(u^2+v^2)F(u,v)

频率域的拉普拉斯算子可以由滤波传递函数公式表示:P(u,v)=-4\pi ^2(u^2+v^2)

参考书籍:

《数字图像处理第二版(冈萨雷斯)》

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