Leetcode 887. Super Egg Drop

Problem:

You are given K eggs, and you have access to a building with N floors from 1 to N.

Each egg is identical in function, and if an egg breaks, you cannot drop it again.

You know that there exists a floor F with 0 <= F <= N such that any egg dropped at a floor higher than F will break, and any egg dropped at or below floor F will not break.

Each move, you may take an egg (if you have an unbroken one) and drop it from any floor X (with 1 <= X <= N).

Your goal is to know with certainty what the value of F is.

What is the minimum number of moves that you need to know with certainty what F is, regardless of the initial value of F?

Example 1:

Input: K = 1, N = 2
Output: 2
Explanation: 
Drop the egg from floor 1.  If it breaks, we know with certainty that F = 0.
Otherwise, drop the egg from floor 2.  If it breaks, we know with certainty that F = 1.
If it didn't break, then we know with certainty F = 2.
Hence, we needed 2 moves in the worst case to know what F is with certainty.

Example 2:

Input: K = 2, N = 6
Output: 3

Example 3:

Input: K = 3, N = 14
Output: 4

Note:

1 <= K <= 100
1 <= N <= 10000

Solution:

　　说道扔鸡蛋问题，就不得不提一下那个经典的dp问题。给m个鸡蛋尝试n次，最坏情况下可以在多少楼层内确定会让鸡蛋破裂的最低层数。

　　对于这道题，我们可以创建一个二维数组dp，dp[i][j]表示用i个鸡蛋尝试j次可以确定的最高楼层数。这个最高楼层可以由两部分组成，假设我们在x楼扔下一个鸡蛋，它可能会破也可能不会破，如果鸡蛋破了，那么我们需要用剩下的i-1个鸡蛋和就-1次机会在x楼之下寻找这个最高楼层，即dp[i-1][j-1]，若鸡蛋破了，则我们需要在x+1层之上用i个鸡蛋尝试j-1次找到那个最高楼层，即dp[i][j-1]，因此可以得到状态转移方程：dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+1+dp[i][j-1]，对于i=1，dp[1][i] = i。代码部分如下：

 1 class Solution {
 2 public:
 3     int superEggDrop(int K, int N) {
 4         vector<vector<int>> dp(K+1,vector<int>(N+1,0));
 5         for(int j = 0;j <= N;++j)
 6             dp[1][j] = j;
 7         for(int i = 2;i <= K;++i){
 8             for(int j = 1;j <= N;++j){
 9                 dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+1+dp[i][j-1];
10             }
11         }
12         return dp[K][N];
13     }
14 };

　　现在来看这道题有什么不同呢，现在他告诉我们最高楼层，要我们找到最小的尝试次数，即告诉我们i和dp[i][j]要我们计算j的值。和上面那题的思路类似，我们令x为测试的楼层，在这一楼层扔鸡蛋有两种情况，如果蛋碎了，则我们需要在x-1层里用i-1个鸡蛋找到最小的尝试次数，如果蛋没碎，则要在x+1到j层用i个鸡蛋找到最小尝试次数，所以max（dp[i-1][x],dp[i][j-x]）即在x层扔下第一个鸡蛋的情况下，用i个鸡蛋在j层内的最小尝试次数。所以，我们需要在0-j层内找到合适的x，使得这个最小尝试次数最少，所以这就成了一个极小化极大值的问题。在这里其实我们可以观察到dp[i-1][x]是递增的，而dp[i][j-x]是递减的，所以我们在0-j内遍历x，当dp[i-1][x] == dp[i][j-x]时，可以断定此时的x即第一个鸡蛋应该扔的楼层，所以dp[i][j]就等于dp[i-1][x]+1。

　　对于这个解法，其时间复杂度为O(kN2)，我们可以观察到在确定x的过程中，我们通过遍历的方法寻找x，在这个地方我们其实可以通过二分法进行优化，将时间复杂度降低为O（kN*logN）。（虽然通过二分法时间复杂度降低了，但程序的运行时间却增加了，所以算法复杂度和程序运行时间真是没必然联系啊）

　　由于这道题的状态转移方程只需要i-1层的数据，其空间复杂度也可以降低为O(N)，感兴趣的读者可以继续优化算法。

Code:

 1 class Solution {
 2 public:
 3     int superEggDrop(int K, int N) {
 4         vector<vector<int>> dp(K+1,vector<int>(N+1,0));
 5         for(int j = 0;j <= N;++j)
 6             dp[1][j] = j;
 7         for(int i = 2;i <= K;++i){
 8             int x = 1;
 9             for(int j = 1;j <= N;++j){
10                 while(x < j && dp[i][j-x] > dp[i-1][x])
11                     x++;
12                 dp[i][j] = 1+dp[i][j-x];
13             }
14         }
15         return dp[K][N];
16     }
17 };

 1 class Solution {
 2 public:
 3     int superEggDrop(int K, int N) {
 4         vector<vector<int>> dp(K+1,vector<int>(N+1,0));
 5         for(int j = 0;j <= N;++j)
 6             dp[1][j] = j;
 7         for(int i = 2;i <= K;++i){
 8             for(int j = 1;j <= N;++j){
 9                 int start = 1;
10                 int end = j;
11                 while(start < end){
12                     int pivot = start+(end-start)/2;
13                     if(dp[i][j-pivot] > dp[i-1][pivot])
14                         start = pivot+1;
15                     else
16                         end = pivot;
17                 }
18                 dp[i][j] = 1+dp[i][j-start];
19             }
20         }
21         return dp[K][N];
22     }
23 };

Leetcode 887. Super Egg Drop

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