题意
一个 \(1\) 到 \(n\) 的全排列，\(m\) 种操作，每次将一段区间 \([l,r]\) 按升序或降序排列，求 \(m\) 次操作后的第 \(k\) 位。
\(1 \leq n \leq 10^5\)
思路
两个 \(\log\) 的做法展现了二分答案的强大功能。首先二分枚举第 \(k\) 位的值，然后将小于等于它的数都变为 \(1\) ，大于它的数变为 \(0\) ，线段树可以实现对 \(01\) 序列快速的排序，按要求进行排序，然后如果第 \(k\) 位为 \(1\) 说明这个数小于等于 \(k\) ，就这样不断二分下来，得到的边界值就是第 \(k\) 位真实的值。这个做法是离线的，有两个 \(\log\) ，但代码好实现。
但这道题，有一个 \(\log\) 、在线的做法。考虑每个位置开一棵动点线段树，把这个位置的数扔进线段树，区间的排序直接用线段树合并进行，但是如果区间的某个端点落在某一个完整的区间内，那就会破坏这个区间的单调性，所以还要线段树分割。我们对于一个完整区间，存下是升序还是降序，然后“分割”出需要的元素，线段树分割代码如下：
void split(int &x,int y,int K,int l,int r) //y拆前K个给x，合并前将初始x清零（x是一个空树）
{
create(x);
if(l==r){sum[x]=sum[y],sum[y]=0;return;}
int mid=(l+r)>>1;
if(K<=sum[lson[y]])
{
split(lson[x],lson[y],K,l,mid);
sum[x]=sum[lson[x]]+sum[rson[x]];
sum[y]=sum[lson[y]]+sum[rson[y]];
return;
}
split(rson[x],rson[y],K-sum[lson[y]],mid+1,r);
lson[x]=lson[y],lson[y]=0;
sum[x]=sum[lson[x]]+sum[rson[x]];
sum[y]=sum[lson[y]]+sum[rson[y]];
}和线段树合并的写法大致相同。
初始有 \(n\log n\) 个点，每次操作最多分割出 \(2\log n\) 个节点 ，所以空间复杂度为 \(O(n\log n)\)。
合并初始的 \(n\) 个节点有一个 \(n\log n\) ，而分割的节点也最多是 \(2 n\log n\) ，所以时间复杂度也是 \(O(n\log n)\)。
代码
#include<bits/stdc++.h>
#define FOR(i,x,y) for(int i=(x),i##END=(y);i<=i##END;++i)
#define DOR(i,x,y) for(int i=(x),i##END=(y);i>=i##END;--i)
typedef long long LL;
using namespace std;
const int N=1e5+5;
const int NN=N*60;
bool mmr1;
int sum[NN],lson[NN],rson[NN];
int rt[N],tot;
void build()
{
memset(rt,0,sizeof(rt));
sum[tot=0]=lson[0]=rson[0]=0;
}
void create(int &k){if(!k)k=++tot,sum[k]=lson[k]=rson[k]=0;}
void update(int &k,int x,int l,int r)
{
create(k);
sum[k]++;
if(l==r)return;
int mid=(l+r)>>1;
if(x<=mid)update(lson[k],x,l,mid);
else update(rson[k],x,mid+1,r);
}
int query1(int k,int K,int l,int r)
{
if(l==r)
{
if(sum[k]!=1)return -1;
return l;
}
int mid=(l+r)>>1;
if(K<=sum[lson[k]])return query1(lson[k],K,l,mid);
else return query1(rson[k],K-sum[lson[k]],mid+1,r);
}
int query2(int k,int K,int l,int r)
{
if(l==r)
{
if(sum[k]!=1)return -1;
return l;
}
int mid=(l+r)>>1;
if(K<=sum[rson[k]])return query2(rson[k],K,mid+1,r);
else return query2(lson[k],K-sum[rson[k]],l,mid);
}
void merge(int &x,int y,int l,int r) //y并进x
{
if(!x||!y){x=(x|y);return;}
if(l==r){sum[x]+=sum[y];return;}
int mid=(l+r)>>1;
merge(lson[x],lson[y],l,mid);
merge(rson[x],rson[y],mid+1,r);
sum[x]=sum[lson[x]]+sum[rson[x]];
}
void split1(int &x,int y,int K,int l,int r) //y拆前K个给x
{
create(x);
if(l==r){sum[x]=sum[y],sum[y]=0;return;}
int mid=(l+r)>>1;
if(K<=sum[lson[y]])
{
split1(lson[x],lson[y],K,l,mid);
sum[x]=sum[lson[x]]+sum[rson[x]];
sum[y]=sum[lson[y]]+sum[rson[y]];
return;
}
split1(rson[x],rson[y],K-sum[lson[y]],mid+1,r);
lson[x]=lson[y],lson[y]=0;
sum[x]=sum[lson[x]]+sum[rson[x]];
sum[y]=sum[lson[y]]+sum[rson[y]];
}
void split2(int &x,int y,int K,int l,int r) //y拆后K个给x
{
create(x);
if(l==r){sum[x]=sum[y],sum[y]=0;return;}
int mid=(l+r)>>1;
if(K<=sum[rson[y]])
{
split2(rson[x],rson[y],K,mid+1,r);
sum[x]=sum[lson[x]]+sum[rson[x]];
sum[y]=sum[lson[y]]+sum[rson[y]];
return;
}
split2(lson[x],lson[y],K-sum[rson[y]],l,mid);
rson[x]=rson[y],rson[y]=0;
sum[x]=sum[lson[x]]+sum[rson[x]];
sum[y]=sum[lson[y]]+sum[rson[y]];
}
set<int>st;
set<int>::iterator it,it1;
bool f[N];
int find_leftmost(int x)
{
it=st.upper_bound(x);
return *--it;
}
int find_rightmost(int x)
{
it=st.upper_bound(x);
return (*it)-1;
}
bool mmr2;
int main()
{
int T,n,m,K;
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
build();
st.clear();
memset(f,0,sizeof(f));
scanf("%d%d",&n,&m);
FOR(i,1,n)
{
int x;
scanf("%d",&x);
update(rt[i],x,1,n);
}
FOR(i,1,n+1)st.insert(i);
while(m--)
{
int op,l,r;
scanf("%d%d%d",&op,&l,&r);
int L=find_leftmost(l);
if(l!=L)
{
if(f[L]==0)rt[l]=0,split1(rt[l],rt[L],l-L,1,n);
else rt[l]=0,split2(rt[l],rt[L],l-L,1,n);
swap(rt[l],rt[L]);
f[l]=f[L];
st.insert(l);
}
int R=find_rightmost(r),_R=find_leftmost(r);
if(r!=R)
{
f[r+1]=f[_R];
if(f[_R]==0)rt[r+1]=0,split2(rt[r+1],rt[_R],R-r,1,n);
else rt[r+1]=0,split1(rt[r+1],rt[_R],R-r,1,n);
st.insert(r+1);
}
f[l]=op;
it=st.find(l),it++;
while((*it)<=r)
{
merge(rt[l],rt[*it],1,n);
it1=it,it++,st.erase(it1);
}
}
scanf("%d",&K);
int x=find_leftmost(K);
if(f[x]==0)printf("%d\n",query1(rt[x],K-x+1,1,n));
else printf("%d\n",query2(rt[x],K-x+1,1,n));
}
return 0;
}