【HDU 4507】吉哥系列故事——恨7不成妻

【题目】

传送门

Problem Description

单身！
依然单身！
吉哥依然单身！
DS 级码农吉哥依然单身！
所以，他生平最恨情人节，不管是 $214$ 还是 $77$，他都讨厌！

吉哥观察了 $214$ 和 $77$ 这两个数，发现：

$2+1+4=7$
$7+7=7*2$
$77=7*11$

最终，他发现原来这一切归根到底都是因为和 $7$ 有关！所以，他现在甚至讨厌一切和 $7$ 有关的数！

什么样的数和 $7$ 有关呢？

如果一个整数符合下面 $3$ 个条件之一，那么我们就说这个整数和 $7$ 有关——

1. 整数中某一位是 $7$；
2. 整数的每一位加起来的和是 $7$ 的整数倍；
3. 这个整数是 $7$ 的整数倍；

现在问题来了：吉哥想知道在一定区间内和 $7$ 无关的数字的平方和。

Input

输入数据的第一行是 $case$ 数 $t$（ $1 \le t ≤ 50$），然后接下来的 $t$ 行表示 $t$ 个 $case$；每个 $case$ 在一行内包含两个正整数 $l, r$（ $1 \le l \le r \le 10^{18}$）。

Output

请计算 [ $l$ , $r$ ] 中和 $7$ 无关的数字的平方和，并将结果对 $10^9 + 7$ 求模后输出。

Sample Input

3
1 9
10 11
17 17

Sample Output

236
221
0

【分析】

终于把这道题弄出来了。。。

看到数据范围，很显然是一道数位 $dp$ 题

其实，如果只是统计与 $7$ 无关的数的个数，就是常规操作，直接套板子就行了

但是现在是求平方和，该怎么办呢？

对每个节点都保存一个三元组， $num$ 为合法的数的个数， $sum$ 为合法的数的和， $squ$ 为合法的数的平方和

首先，我们先思考简单一点的，怎么求与 $7$ 无关的数的和

假设现在 $dp$ 到了第 $pos$ 位，这一位填的数为 $i$，那么加上这一位 $i$ 产生的贡献，和就是

$now.sum+=temp.sum+temp.num*i*10^{pos-1}$

$now.sum$ 记录的就是当前位置的和， $temp.sum$ 是不算上当前位置（就是之前的数的和）的和

现在就考虑如何算平方和（ $a$ 表示不算上当前位，之前合法的数）

$now.squ=\sum(a+i*10^{pos-1})^2$

令 $b=i*10^{pos-1}$，并拆开来化简得到

$now.squ=\sum (a^2+2ab+b^2)=\sum a^2+2b\sum a+\sum b^2$

可以发现， $\sum a^2$ 就是 $temp.squ$， $\sum a$ 就是 $temp.sum$，有关于 $b$ 的暴力计算就行了

【代码】

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define Mod 1000000007
using namespace std;
int a[20],Pow[20];
struct dp{long long num,sum,squ;}f[20][10][10][2];
dp search(int p,int v1,int v2,bool limit)
{
	int i,up;
	dp ans=(dp){0,0,0};
	if(!p)  return (dp){v1&&v2,0,0};
	if(~f[p][v1][v2][limit].num)  return f[p][v1][v2][limit];
	up=limit?a[p]:9;
	for(i=0;i<=up;++i)
	{
		if(i==7)  continue;
		dp temp=search(p-1,(v1+i)%7,(v2*10+i)%7,limit&&a[p]==i);
		ans.num=(ans.num+temp.num)%Mod;
		ans.sum=(ans.sum+temp.sum+1ll*i*Pow[p-1]%Mod*temp.num%Mod)%Mod;
		ans.squ=(ans.squ+temp.squ+2ll*i*Pow[p-1]%Mod*temp.sum%Mod+temp.num*i*i%Mod*Pow[p-1]%Mod*Pow[p-1]%Mod)%Mod;
	}
	f[p][v1][v2][limit]=ans;
	return ans;
}
long long solve(long long x)
{
	int p=0;
	while(x!=0)
	{
		a[++p]=x%10;
		x/=10;
	}
	memset(f,-1,sizeof(f));
	return search(p,0,0,true).squ;
}
int main()
{
	int n,i;
	long long l,r;
	scanf("%d",&n);
	Pow[0]=1;
	for(i=1;i<20;++i)
	  Pow[i]=10ll*Pow[i-1]%Mod;
	for(i=1;i<=n;++i)
	{
		scanf("%lld%lld",&l,&r);
		printf("%lld\n",(solve(r)-solve(l-1)+Mod)%Mod);
	}
	return 0;
}