抢在2019来临之前发表的高斯消元
高斯消元在做什么
高斯消元可以分为两个部分：加减消元；回代求解。它的作用是求解一个线性方程组；实现方法就是把方程系数用矩阵表示，再$O(n^3)$求解此矩阵。
注意两个特殊情况：
1.无解
当系数全为0时，常数项不为0.
2.多解
在处理第i个未知数时，剩下所有方程第i个未知数的系数和常数项都为0.
一些例题
1013: [JSOI2008]球形空间产生器sphere
Description
有一个球形空间产生器能够在n维空间中产生一个坚硬的球体。现在，你被困在了这个n维球体中，你只知道球
面上n+1个点的坐标，你需要以最快的速度确定这个n维球体的球心坐标，以便于摧毁这个球形空间产生器。
Input
第一行是一个整数n(1<=N=10)。接下来的n+1行，每行有n个实数，表示球面上一点的n维坐标。每一个实数精确到小数点
后6位，且其绝对值都不超过20000。
Output
有且只有一行，依次给出球心的n维坐标（n个实数），两个实数之间用一个空格隔开。每个实数精确到小数点
后3位。数据保证有解。你的答案必须和标准输出一模一样才能够得分。
Sample Input
2
0.0 0.0
-1.0 1.0
1.0 0.0
0.0 0.0
-1.0 1.0
1.0 0.0
Sample Output
0.500 1.500
HINT
0.500 1.500
说明
提示：给出两个定义：
- 球心：到球面上任意一点距离都相等的点。
- 距离：设两个n为空间上的点A, B的坐标为$(a_1, a_2, \cdots , a_n), (b_1, b_2, \cdots , b_n)$，则AB的距离定义为：$dist = \sqrt{ (a_1-b_1)^2 + (a_2-b_2)^2 + \cdots + (a_n-b_n)^2}$
题目分析
注意到两个问题：
1.求解n个未知数的问题，给定了n+1个方程
2.如果原原本本地按照定义考虑，就是带二次项的方程，无法解决
但是会发现这n+1个方程中所有二次项的系数都相同，并且等式右边都是$R^2+k$的形式。于是就想到将第$i$和第$i+1$个方程合并成$n$个线性方程，这样就可以用高斯消元求解了。
1 #include<bits/stdc++.h> 2 const int maxn = 23; 3 4 int n; 5 double mp[maxn][maxn],ans[maxn],bse,coe[maxn][maxn]; 6 7 int main() 8 { 9 scanf("%d",&n); 10 for (int i=1; i<=n+1; i++) 11 for (int j=1; j<=n; j++) 12 scanf("%lf",&coe[i][j]); 13 for (int i=1; i<=n; i++) 14 for (int j=1; j<=n; j++) 15 { 16 mp[i][j] = 2.0*(coe[i+1][j]-coe[i][j]); 17 mp[i][n+1] += coe[i+1][j]*coe[i+1][j]-coe[i][j]*coe[i][j]; 18 } 19 for (int i=1, r; i<=n; i++) 20 { 21 r = i; 22 for (int j=i+1; j<=n; j++) 23 if (fabs(mp[j][i]) > fabs(mp[r][i])) r = i; 24 if (r!=i) std::swap(mp[r], mp[i]); 25 bse = mp[i][i]; 26 for (int j=i; j<=n+1; j++) mp[i][j] /= bse; 27 for (int j=i+1; j<=n; j++) 28 { 29 bse = mp[j][i]; 30 for (int k=i; k<=n+1; k++) 31 mp[j][k] -= bse*mp[i][k]; 32 } 33 } 34 ans[n] = mp[n][n+1]; 35 for (int i=n-1; i; i--) 36 { 37 ans[i] = mp[i][n+1]; 38 for (int j=i+1; j<=n; j++) ans[i] -= ans[j]*mp[i][j]; 39 } 40 for (int i=1; i<=n; i++) printf("%.3lf ",ans[i]); 41 return 0; 42 }