【[AHOI2012]树屋阶梯】

卡特兰数！

至于为什么是卡特兰数，就稍微说那么一两句吧

对于一个高度为\(i\)的阶梯，我们可以在左上角填一个高度为\(k\)的阶梯，右下角填一个高度为\(i-1-k\)的阶梯剩下的我们用一个大的长方形填上就可以啦

比如这个样子

之后还需要高精，但是为了简单好写，这里可以分解质因数，之后就变成另一个单精度乘高精了

代码

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define LL long long
#define re register
#define maxn 1005
inline int read()
{
    char c=getchar();
    int x=0;
    while(c<'0'||c>'9') c=getchar();
    while(c>='0'&&c<='9')
        x=(x<<3)+(x<<1)+c-48,c=getchar();
    return x;
}
int n,f[maxn],p[maxn];
int to[maxn],num[maxn];
int a[10005];
int L;
inline void mul(int x)
{
    for(re int i=1;i<=L;i++)
        a[i]*=x;
    for(re int i=1;i<=L;i++)
        a[i+1]+=a[i]/10,a[i]%=10;
    int now=L;
    while(1)
    {
        a[now+1]+=a[now]/10;
        a[now]%=10;
        now++;
        if(!a[now]) break;
    }
    L=now-1;
}
int main()
{
    n=read();
    f[1]=1;
    for(re int i=2;i<=2*n;i++)
    {
        if(!f[i]) p[++p[0]]=i,to[i]=p[0],num[p[0]]++;
        for(re int j=1;j<=p[0]&&p[j]*i<=2*n;j++)
        {
            f[p[j]*i]=1;
            if(i%p[j]==0) break;
        }
    }
    for(re int i=2;i<=2*n;i++)
    {
        if(!f[i]) continue;
        int up=std::sqrt(i);
        int now=i;
        for(re int j=1;j<=p[0]&&p[j]<=up;j++)
        {
            while(now%p[j]==0) now/=p[j],num[j]++;
            if(now==1) break;
        }
        if(now!=1) num[to[now]]++;
    }
    L=1,a[1]=1;
    for(re int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!f[i])
        {
            num[to[i]]-=2;
            continue;
        }
        int up=std::sqrt(i);
        int now=i;
        for(re int j=1;j<=p[0]&&p[j]<=up;j++)
        {
            while(now%p[j]==0) now/=p[j],num[j]-=2;
            if(now==1) break;
        }
        if(now!=1) num[to[now]]-=2;
    }
    int now=n+1;
    int up=std::sqrt(n+1);
    for(re int j=1;j<=p[0]&&p[j]<=up;j++)
    {
        while(now%p[j]==0) now/=p[j],num[j]--;
        if(now==1) break;
    }
    if(now!=1) num[to[now]]--;
    for(re int i=1;i<=p[0];i++)
        while(num[i]) mul(p[i]),num[i]--;
    for(re int i=L;i;i--)
        printf("%d",a[i]);
    return 0;
}