[Luogu P2532] [BZOJ 2822] [AHOI2012]树屋阶梯

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BZOJ传送门

题目描述

输入输出格式

输入格式：

一个正整数 $N$ （ $1\le N\le 500$ ），表示阶梯的高度。

输出格式：

一个正整数，表示搭建方法的个数。（注：搭建方法的个数可能很大）

输入输出样例

输入样例#1：

输出样例#1：

说明

40%的数据： $1\le N\le 20$

80%的数据： $1\le N\le 300$

100%的数据： $1\le N\le 500$

解题分析

可以发现，如果我们新加入一列台阶，那么可以有如下放置方法：

如果没有抵住右边界显然是无解的。然后问题就转化为了两个更小的子问题。得到递推式 $f(i)=\sum_{j=0}^{i-1}f(j)f(i-1-j)$ 。

实际上这就是卡特兰数，直接 $f(i)=\frac{4i-2}{i+1}f(i-1)$ 递推即可。

代码如下：

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cctype>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <string>
#include <algorithm>
#define R register
#define IN inline
#define W while
using namespace std;
namespace BigInteger
{
#define maxn 1005

struct Big_integer{  
	int d[maxn], len;  

	void clean() { while(len > 1 && !d[len-1]) len--; }  

	IN Big_integer()          { memset(d, 0, sizeof(d)); len = 1; }  
	IN Big_integer(int num)   { *this = num; }   
	IN Big_integer(char* num) { *this = num; }  
	IN Big_integer operator = (const char* num){  
		memset(d, 0, sizeof(d)); len = strlen(num);  
		for(R int i = 0; i < len; i++) d[i] = num[len-1-i] - '0';  
		clean();  
		return *this;  
	}  

	IN Big_integer operator = (int num){  
		char s[10005]; sprintf(s, "%d", num);  
		*this = s;  
		return *this;  
	}  

	IN Big_integer operator + (const Big_integer& b){  
		Big_integer c = *this; R int i;  
		for (i = 0; i < b.len; i++){  
			c.d[i] += b.d[i];  
			if (c.d[i] > 9) c.d[i]%=10, c.d[i+1]++;  
		}  
		while (c.d[i] > 9) c.d[i++]%=10, c.d[i]++;  
		c.len = max(len, b.len);  
		if (c.d[i] && c.len <= i) c.len = i+1;  
		return c;  
	}  

	IN Big_integer operator - (const Big_integer& b){  
		Big_integer c = *this; R int i;  
		for (i = 0; i < b.len; i++){  
			c.d[i] -= b.d[i];  
			if (c.d[i] < 0) c.d[i]+=10, c.d[i+1]--;  
		}  
		while (c.d[i] < 0) c.d[i++]+=10, c.d[i]--;  
		c.clean();  
		return c;  
	}  

	IN Big_integer operator * (const Big_integer& b)const{  
		R int i, j; Big_integer c; c.len = len + b.len;   
		for(j = 0; j < b.len; j++) for(i = 0; i < len; i++)   
			c.d[i+j] += d[i] * b.d[j];  
		for(i = 0; i < c.len-1; i++)  
			c.d[i+1] += c.d[i]/10, c.d[i] %= 10;  
		c.clean();  
		return c;  
	}  

	IN Big_integer operator / (const Big_integer& b){  
		R int i, j;  
		Big_integer c = *this, a = 0;  
		for (i = len - 1; i >= 0; i--)  
		{  
			a = a*10 + d[i];  
			for (j = 0; j < 10; j++) if (a < b*(j+1)) break;  
			c.d[i] = j;  
			a = a - b*j;  
		}  
		c.clean();  
		return c;  
	}  

	IN Big_integer operator % (const Big_integer& b){  
		R int i, j;  
		Big_integer a = 0;  
		for (i = len - 1; i >= 0; i--)  
		{  
			a = a*10 + d[i];  
			for (j = 0; j < 10; j++) if (a < b*(j+1)) break;  
			a = a - b*j;  
		}  
		return a;  
	}  

	IN Big_integer operator += (const Big_integer& b){  
		*this = *this + b;  
		return *this;  
	}  

	IN bool operator <(const Big_integer& b) const{  
		if(len != b.len) return len < b.len;  
		for(R int i = len-1; i >= 0; i--)  
			if(d[i] != b.d[i]) return d[i] < b.d[i];  
		return false;  
	}  
	IN bool operator >(const Big_integer& b) const{return b < *this;}  
	IN bool operator<=(const Big_integer& b) const{return !(b < *this);}  
	IN bool operator>=(const Big_integer& b) const{return !(*this < b);}  
	IN bool operator!=(const Big_integer& b) const{return b < *this || *this < b;}  
	IN bool operator==(const Big_integer& b) const{return !(b < *this) && !(b > *this);}  

	string str() const{  
		char s[maxn]={};  
		for(int i = 0; i < len; i++) s[len-1-i] = d[i]+'0';  
		return s;  
	}  
};  

istream& operator >> (istream& in, Big_integer& x)  
{  
	string s;  
	in >> s;  
	x = s.c_str();  
	return in;  
}  

ostream& operator << (ostream& out, const Big_integer& x)  
{  
	out << x.str();  
	return out;  
}  
}
using namespace BigInteger;
Big_integer ans = 1;
int main(void)
{
	int n;
	scanf("%d", &n);
	for (R int i = 2; i <= n; ++i) ans = ans * (4 * i - 2) / (i + 1);
	cout << ans;
}