Sigmoid函数的特性及硬件实现方法--含matlab代码及讲解

1. 简介

sigmoid是神经网络中常用的一种激活函数，在机械学习和很多降噪滤波算法中也常常会用到这个函数。sigmoid函数的表达式如下：
$y=sigmoid(x)=\frac {1} {1+exp(-x)}$
本文主要会介绍一些sigmoid函数常用的特性。并且基于sigmoid函数特有的性质，我会给出一种硬件实现sigmoid函数的方法(不是多项式拟合法)，为了方便读者理解，我还用matlab模拟了sigmoid函数的实现。有兴趣的小伙伴可以直接到我下面的链接中下载代码。
https://download.csdn.net/download/qq_35721810/10885213

2. sigmoid函数的特性介绍

2.1 sigmoid(x)与sigmoid(-x)的关系

sigmoid(x)与sigmoid(-x)的具有下面的关系:
$sigmoid(-x) = 1 - sigmoid(x)$
推导过程如下：
$1-sigmoid(x) = 1-\frac {1} {1+exp(-x)}=\frac {exp(-x)} {1+exp(-x)}=\frac {1} {1+exp(x)}= sigmoid(-x)$

2.2 sigmoid函数与tanh函数的关系

tanh(x)为双曲余弦函数，其表达式如下
$tanh(x)=\frac {exp(x)-exp(-x)} {exp(x)+exp(-x)}$
sigmoid(x)与tanh(x)函数的关系如下：
$sigmoid(x) =\frac {tanh(\frac {x} {2})+1} {2}$
推导过程如下：
$\frac {tanh(\frac {x} {2})+1} {2}=\frac{\frac {exp(x/2)-exp(-x/2)} {exp(x/2)+exp(-x/2)}+1}{2}=\frac {exp(x/2)} {(exp(x/2)+exp(-x/2))}=\frac {1} {1+exp(-x)}=sigmoid(x)$

2.3 sigmoid函数的n阶导数

sigmoid函数求导有一个非常好的特殊性质，即导数的结果是可以完全表达成y的函数,与x无关。 假设 $y=sigmoid(x)=\frac {1} {1+exp(-x)}$
$\frac{dy}{dx}=\frac {exp(-x)} {[1+exp(-x)]^2}=\left( 1-\frac {1} {1+exp(-x)}\right)\frac {1} {1+exp(-x)}=y(1-y)$
即 $\frac{dy}{dx}$只是y的函数。如果要求二阶导数可以直接对 $\frac{dy}{dx}$再次求导
$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)=(1-2y)\frac{dy}{dx}=y(1-y)(1-2y)$
根据上述方法，sigmoid函数的前n-1阶导数一定一个只含有y的函数，对y求导再乘以y(1-y)就是sigmoid函数的n阶导数。这里我没有推导出sigmoid函数的n阶导数的紧凑表达式。有兴趣的同学可以自己推导试一下，也欢迎大神留言给出正解。
另一种求解sigmoid函数n阶导数的方法，就是利用它与tanh(x)的关系。由于 $sigmoid(x) =\frac {tanh(\frac {x} {2})+1} {2}$，因此sigmoid(x)的n阶导数其实就是 $\frac{1}{2}tanh(\frac{x}{2})$的n阶导。tanh(x)的n阶导数有一些复杂，国内的高等数学教材中并没有提到，最后我还是在一篇NASA的技术笔记[1]中找到的，这里我直接给出tanh(x)函数的n阶导数结果：
$\frac{d^{2n}tanh(x)}{dx^{2n}}=tanh(x)\sum_{k=1}^{n-1} {(-1)^{n-k}W_{2(n-k),k}[2(n-k)]!sech(x)^{2(n-k)}}$
$\frac{d^{2n+1}tanh(x)}{dx^{2n+1}}=tanh(x)\sum_{k=0}^{n} {(-1)^{n-k}W_{2(n-k+1),k}[2(n-k)+1]!sech(x)^{2(n-k+1)}}$
上式中的 $W_{2n,k}$可以通过下面的递推公式得到
$W_{2,k}=2^{2k}$
$W_{4,k}=\sum_{m=0}^{k}{2^{2(k+m)}}$
$W_{2n,k}=(2n)^{2}W_{2n,k-1}+W_{2(n-1),k}$
因此根据tanh(x)的n阶导数可以得到sigmoid(x)的n阶导数，具体形式如下
$\frac{d^{2n}sigmoid(x)}{dx^{2n}}=\frac{1}{2^{2n+1}}tanh(\frac{x}{2})\sum_{k=1}^{n-1} {(-1)^{n-k}W_{2(n-k),k}[2(n-k)]!sech(\frac{x}{2})^{2(n-k)}}$
$\frac{d^{2n+1}sigmoid(x)}{dx^{2n+1}}=\frac{1}{2^{2n+2}}tanh(\frac{x}{2})\sum_{k=0}^{n} {(-1)^{n-k}W_{2(n-k+1),k}[2(n-k)+1]!sech(\frac{x}{2})^{2(n-k+1)}}$

2.4 当x=n*ln2时的数值

这个特性其实非常有趣，当 $x=n*ln2$(n可以为任意非0的整数，可正可负)时，sigmoid函数可以变成
$sigmoid(n*ln2)=\frac{1}{1+2^{-n}}$
$\frac{1}{1+2^{-n}}$的机械数是非常有规律的.
下面给一个几个例子
当 $n=1$时，
$\frac{1}{1+2^{-1}}=(0.10101010...)_2$
上式中 $()_2$代表2进制表示。
当 $n=2$时，
$\frac{1}{1+2^{-2}}=(0.1100110011001100...)_2$
当 $n=3$时，
$\frac{1}{1+2^{-3}}=(0.111000111000111000111000...)_2$
以此类推，当n大于0时，sigmoid函数的结果的机器数为n个1和0交替。
当 $n=-1$时，
$\frac{1}{1+2^{1}}=(0.01010101...)_2$
当 $n=-2$时，
$\frac{1}{1+2^{2}}=(0.0011001100110011...)_2$
当 $n=-3$时，
$\frac{1}{1+2^{3}}=(0.000111000111000111000111...)_2$
当n小于0时，sigmoid函数的结果的机器数为n个0和1交替。
根据上述性质，我们可以很容易通过硬件实现 $x=n*ln2$时的sigmoid函数值。

2.5 其他关系式

sigmoid函数有一个非常类似柯西中值定理的关系式：
$sigmoid(x_1)-sigmoid(x_2)=\frac {1} {1+exp(-x_1)}-\frac {1} {1+exp(-x_2)}=\frac {exp(x_2)-exp(x_1)} {[1+exp(-x_1)][1+exp(x_2)]}$
$\frac {sigmoid(x_1)-sigmoid(x_2)} {exp(-x_1)-exp(-x_2)}=-sigmoid(x_1)sigmoid(x_2)$
公式的左边与柯西中值定理很像
$\frac {f(x_1)-f(x_2)} {g(x_1)-g(x_2)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$

3. 硬件实现方案

sigmoid函数的硬件实现很多是通过分区多项式拟合法得到的。这里我给大家介绍一种基于泰勒级数展开的硬件实现方法。并且在下文中我会给出matlab版本的实现。
首先泰勒级数展开的方法如下：
$f(x_0+\Delta x)=f(x_0)+\frac{df(x_0)}{dx}\Delta x+\frac{1}{2!}\frac{d^2f(x_0)}{dx^2}(\Delta x)^2+...+\frac{1}{n!}\frac{d^nf(x_0)}{dx^n}(\Delta x)^n$
需要指出的是泰勒级数展开其实只能适用于一个 $\Delta x$很小的区域范围。对于从负无穷到正无穷范围取值的sigmoid函数，我们很难仅通过零点展开对其进行近似。
如果可以找到在任意 $x$附近的一个 $x_0$，并且我们可以得到 $f(x_0)$, $\frac{df(x_0)}{dx}$,…, $\frac{d^nf(x_0)}{dx^n}$，那么就可以计算泰勒级数的展开结果。对于硬件实现其实 $\frac{1}{n!}$可以认为是一个预先算好的系数。
回忆第2节中我们提到两个sigmoid的性质。当 $x=n*ln2$时，sigmoid函数的机械数是很容易计算的，其次如果sigmoid函数的任意n阶导数只是sigmoid函数值的函数，即我们可以很容易得到 $x=n*ln2$时，sigmoid函数的任意n阶导数。根据上述方法我们可以得到一种基于泰勒级数展开的硬件实现方案。其基本思想如下：
1. 输入任意x，找到距离x最近的 $x_0=n*ln2$。
2. 计算 $x_0=n*ln2$时的函数值，以及n阶导数， $\frac{1}{n!}$可以预先计算好输入。
3. 利用泰勒级数展开公式对sigmoid函数进行计算。

4. matlab代码实现及讲解

下面我会给出泰勒级数展开法实现sigmoid函数的matlab代码。可以点击下面的链接下载我的代码：
https://download.csdn.net/download/qq_35721810/10885213

图 1 matlab代码
解压sigmoid_function.rar里面有四个.m文件。test.m是一个测试案例。sigmoid_hw.m是主要的实现函数。buildRefVal.m是用来计算 $x0=nln2$时的结果。sigmoidTaylor.m是sigmoid的泰勒展系数的计算方法。下面我会依次介绍这几个文件。

1. test.m
其代码如下：

clear
% 计算x0 = nln2时,f(x0)的机械数的最大长度
byteNum = 64;
% 泰勒级数展开的阶数
taylorNum = 2;

% 生成x
dx = 0.01;
x = 0:dx:5;

% 计算golden数值
golden = 1 ./ (1 + exp(-x));

% 遍历每一个x 用泰勒级数展开法计算sigmoid函数
for i = 1:length(x)
    [result_hw(i),~] = sigmoid_hw(x(i),byteNum,taylorNum);
end

% 显示结果
disp('the max error is ')
disp(max(abs(result_hw-golden)))

plot(x,golden)
hold on
plot(x,result_hw,'--r')

byteNum是当 $x_0=nln2$的最大机械数的长度，taylorNum是泰勒级数展开的阶数。计算中的golden直接通过matlab的函数直接实现。byteNum是当 $x_0=nln2$的最大机械数的长度，taylorNum是泰勒级数展开的阶数。计算中的golden直接通过matlab的函数直接实现。sigmoid_hw是实现泰勒级数展开发的核心函数。

2. sigmoid_hw.m
代码如下：

% 这个函数采用泰勒级数展开法计算函数sigmoid
% 输入：
% x 需要计算的sigmoid(x)的结果
% byteNum 为计算x0 = nln2时,f(x0)的机械数的最大长度
% taylorNum 为泰勒级数展开阶数
% 输出：
% val为最后结果
% taylorSeries 是一个n阶向量，它代表x0 = nln2时的n阶泰勒级数计算结果

function [val,taylorSeries] = sigmoid_hw(x,byteNum,taylorNum)
% 计算ln2 
ln2 =  log(2);
% 得到距离x最近的x0，refX就是x0
n = round(-x/ln2);
refX = -n * ln2;

% 计算x0 = nln2时的机器数，并且转化为10进制数
refVal = buildRefVal(n,byteNum);
% 计算dx
dx = x - refX;

% 计算x0 = nln2时的n阶泰勒级数计算结果
taylorSeries = sigmoidTaylor(refVal,taylorNum);

% 计算dx^n
for i = 1:length(taylorSeries)
    if i == 1
       dxn(i) =  dx;
    else
       dxn(i) =  dxn(i-1)*dx;
    end
end

% 泰勒级数n阶求和
val  = dot(taylorSeries,dxn) + refVal;
end

函数sigmoid_hw输入的是刚才提到的byteNum，taylorNum还有需要计算的点x。输出的结果是最后泰勒级数展开法计算得到的结果val以及泰勒级数的系数taylorSeries 。首先先找到里x最近的 $x_0=nln2$。这里 $n=round(x/ln2)$。buildRefVal函数是根据得到的n计算 $sigmoid(x_0)$，也就是上文提到的一串循环重复的0，1序列。得到 $sigmoid(x_0)$之后，根据sigmoidTaylor函数计算n阶泰勒级数展开的系数。buildRefVal和sigmoidTaylor会在下面讲解。

3. buildRefVal.m
代码如下：

% 本函数用于产生 1 / (1 + 2^n)的结果
% 当 n = 1, 1 / (1 + 2^n) = 01010101...
% 当 n = 2, 1 / (1 + 2^n) = 001100110011...
% 当 n = -1, 1 / (1 + 2^n) = 101010101...
% 当 n = -2, 1 / (1 + 2^n) = 110011001100...
% 输入
% n 是1 / (1 + 2^n)中的n
% threshold 最大的二进制长度
% 输出
% val 为1/(1 + 2^n)的十进制结果

function val = buildRefVal(n,threshold)
if n == 0
    val = 0.5;
    return
end

val = 0;
counter = 1;
if n > 0 
   while(counter <= threshold)
        binary = mod(fix((counter-1)/n),2);
        val = val + binary*1/2^counter;
        counter = counter + 1;
   end
else
    while(counter <= threshold)
        binary = 1-mod(fix((counter-1)/-n),2);
        val = val + binary*1/2^counter;
        counter = counter + 1;
    end
end
end

当 $x_0=nln2$时，sigmoid函数等于
$sigmoid(-nln2)=\frac{1}{1+2^{n}}$
buildRefVal函数则是计算 $\frac{1}{1+2^{n}}$的结果。如上文提到的 $\frac{1}{1+2^{n}}$是一串n个连续循环的01序列，当n>0时，先0后1；当n<0时先1后0。buildRefVal函数中输出的结果是以十进制形式表示的，其基本实现是设置一个counter，当counter-1整除n为奇数时输出0(或者1)，反之则输出1(或者0)。同事counter数有可以表示2进制数小数点后的位数，因此当结果为1时，在结果val中加上1/2^counter。

4. sigmoidTaylor
代码如下：

% 计算sigmoid的n阶泰勒级数展开项
% 输入
% valY 是f(x0)
% n 代表泰勒级数展开项
% 输出
% z 是一个n维向量, 代表[df/dx, d2f/dx2, ...,dnf/dxn]

function [z] = sigmoidTaylor(valY,n)
% 这里通过matlab的符号运算直接求导计算，在硬件实现过程中，可以实现知道函数的形式
syms t
for i = 1:n
    if i == 1
        % y0 代表df/dx
        y0 = t*(1-t);
        y = y0;
        % 将y值带入方程
        z(i) = double(subs(y,t,valY));
    else
        %对上一次的结果求导
        y = diff(y,t)*y0;
        z(i) = double(subs(y,t,valY));
        %除以n的阶乘
        z(i) = z(i)/factorial(n);
    end
end
end

sigmoidTaylor函数用于求解n阶导数系数。这里为了提升函数的通用性我直接用符号运算中的求导来计算。事实上在硬件实现过程中这些函数，包括1/n！可以预先算好。求导的方法根据上文2.3节中提到的sigmoid函数n阶导数的求解方法即可。

最后给读者一张2阶精度拟合下的结果图。可以看到泰勒级数展开法的拟合结果与matlab里直接计算的golden结果还是比较贴近的，最大的误差为8.0948e-04。

[1] formulas for nth order derivatives of hyperbolic and trigonometric functions, Edwin G. Wintucky, 1971.