[BZOJ 3028] 食物

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Description

明明这次又要出去旅游了，和上次不同的是，他这次要去宇宙探险！我们暂且不讨论他有多么NC，他又幻想了他应

该带一些什么东西。理所当然的，你当然要帮他计算携带 $N$ 件物品的方案数。他这次又准备带一些受欢迎的食物，

如：蜜桃多啦，鸡块啦，承德汉堡等等当然，他又有一些稀奇古怪的限制：每种食物的限制如下：

承德汉堡：偶数个

可乐：0个或1个

鸡腿：0个，1个或2个

蜜桃多：奇数个

鸡块：4的倍数个

包子：0个，1个，2个或3个

土豆片炒肉：不超过一个。

面包：3的倍数个

注意，这里我们懒得考虑明明对于带的食物该怎么搭配着吃，也认为每种食物都是以‘个’为单位（反正是幻想嘛），只要总数加起来是 $N$ 就算一种方案。因此，对于给出的 $N$ ,你需要计算出方案数，并对 $10007$ 取模。

Input

输入一个数字 $N$ ， $1\le n\le 10^{500}$

Output

如题

Sample Input

输入样例1
1
输入样例2
5

Sample Output

输出样例1
1
输出样例2
35

解题分析

生成函数模板题。

考虑各种各样的限制的生成函数：

承德汉堡： $1+x^2+x^4+...x^{2n}=\frac{1}{1-x^2}$

可乐、土豆片炒肉： $1+x$

鸡腿： $1+x+x^2$

蜜桃多： $x+x^3+x^5+...+x^{2n+1}=\frac{x}{1-x^2}$

鸡块： $1+x^4+...+x^{4n}=\frac{1}{1-x^4}$

包子： $1+x+x^2+x^3=\frac{1-x^4}{1-x}$

面包： $1+x^3+...+x^{3n}=\frac{1}{1-x^3}$

乘起来得到 $\frac{x}{(1-x)^4}$ 。

先看这一部分： $\frac{1}{(1-x)^k}$ 。利用插板法可以很轻松得到其等于 $\sum_{i=0}^\infin\binom{i+k-1}{k-1}x^i$ 。

所以在这里这个数列就等于 $\sum_{i=0}^\infin\binom{i+k-1}{k-1}x^{i+1}$ 。

其第 $n$ 项的系数就为 $\binom{n+2}{3}$ 。

用 $Lucas$ 定理对上指标取模后再计算即可。

代码如下：

#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#define R register
#define IN inline
#define MOD 10007
#define MX 10010
char buf[505];
int fac[MX], inv[MX];
IN int C(R int n, R int m)
{
	if (n < m) return 0;
	return fac[n] * inv[m] % MOD * inv[n - m] % MOD;
}
int main(void)
{
	int tot = 0;
	fac[0] = fac[1] = inv[0] = inv[1] = 1;
	for (R int i = 2; i < MOD; ++i) fac[i] = fac[i - 1] * i % MOD, inv[i] = inv[MOD % i] * (MOD - MOD / i) % MOD;
	for (R int i = 2; i < MOD; ++i) inv[i] = inv[i - 1] * inv[i] % MOD;
	scanf("%s", buf + 1); R int len = std::strlen(buf + 1);
	for (R int i = 1; i <= len; ++i) tot = (tot * 10 + buf[i] - '0') % MOD; tot = (tot + 2) % MOD;
	printf("%d", C(tot, 3));
}