一些定义
数论函数：定义域在正整数的函数
积性函数：\(\forall a\perp b,f(ab)=f(a)\times f(b)\)
完全积性函数：\(\forall a,b,f(ab)=f(a)\times f(b)\)
栗子
- 常数函数\[1(i)=1\]
- 幺元函数\[e(n)=[n=1]\]
- 恒等函数\[id(n)=n\]
欧拉函数
\(\phi(i)\)表示\(1-i\)中与\(i\)互质的数的个数
引理：
- 如果\(n\)为素数p，\(\phi(n)=n-1\)
- 如果\(n\)为素数的次方，\(\phi(p^a)=(p-1)\times p^{a-1}\)
- 如果\(n\)为两数之积，\(\phi(a\times b)=\phi(a)\times\phi(b)\)
- 若\(n=p_1^{a1} \times p_2^{a2}\times...\times p_k^{ak}\), \(phi(n)=n\times (1-1/p_1)\times (1-1/p2)\times ...\times(1-1/p_k)\)
欧拉定理
\(IF\ a\perp m,\ \ a^{\phi(m)}\equiv 1\ \ (mod\ \ m)\)
欧拉函数的线性筛法
- 性质1 \(\phi(p)=p-1\)
- 性质2 \(IF\ i\ mod \ p=0,\ \ (i*p)=p*\phi(i)\)
证明
\(\ \because n\)与\(i\)不互质，\(\therefore i\)与\(n+i\)不互质
\(\ \because [1,i]\)中不与i互质的数有\(i-\phi (i)\)个，
\(\ \therefore(i+1,p\times i]\)中一共有\(p\times \phi(i)\)个数\(\perp i\times p\) - 性质3 \(IF\ i\ mod\ p\neq0,\ \ (i*p)=(p-1)*\phi(i)\)
调和级数
\[1+\frac 1 2+ \frac 1 3 + \frac 1 4 + ...\approx ln\ n\]
除数函数
\[\sigma _k(n)=\sum_{d|n}d^k\]
\(\sigma_0\)表示因子个数
\(\sigma_1\)表示因子和
积性函数
狄利克雷卷积
\[f*g=h\]
\[h(z)=\sum_{x*y=z} f(x)*g(y)\]
有交换律和结合律
如果\(f,g\)都是积性函数，\(h\)是积性函数
- 验证卷积
\[h(p^k)=\sum_{i=0}^kf[(p^i)\times g(p^{k-i})\]
栗子
- \(\varphi*1=id\)即\(\sum_{d|n}\varphi(d)=n\)
给定\(f,g\),求卷积前n项的做法-->暴力\(O(n\ ln\ n)\)
莫比乌斯函数
\[n=p_1^{k_1}\times p_2^{k_2}\times p_3^{k_3}\times .. \times p_m^{k_m}\]
\[if\ squarefree\ \mu(n)=(-1)^m\](就是说每一项的系数都是一次)
\[otherwise\ \mu(n)=0\]
\[\mu(n)=\mu(p_1^{k_1})\times \mu(p_2^{k_2})\times ...\times\mu(p_m^{k_m})\]
积性函数，但不是完全积性函数
\[\sum_{d|n} \mu(d)=[n=1]\]可改写为\[u*1=e\]
证明：
\[n=p_1^{k_1}\times p_2^{k_2}\times p_3^{k_3}\times .. \times p_m^{k_m}\]
\[n_0=p_1\times p_2\times p_3\times .. \times p_m\]
\[\sum_{d|n}\mu(d)=\sum_{d|n_0}\mu(d)\]
当\(p_1\perp d\) ,\[\mu(dp_1)=\mu(d)\times\mu(p_1)=-\mu(d)\]
\[\sum_{d|n}\mu(d)=\sum_{d|n_0}\mu(d)=\sum_{d|\frac{n_0}{p_1}}(\mu(d)+\mu(dp_1))=0\]
线性筛法
void Linear_Shaker(int n)
{
mu[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; i++)
{
if (!ism[i]) {prm[++tot] = i; mu[i] = -1;}
for (int j = 1; j <= tot; j++)
{
int num = prm[j] * i;
if (num > n) break;
ism[num] = 1;
if (i % prm[j] == 0) break;
mu[num] = -mu[i];
}
}
}莫比乌斯反演
\[g=f*1\]
如果知道\(f,1\)直接求就行了啊
但是如果只知道\(g,f\)呢
反演！！！
\[g=f*1\]
\[g*\mu=f*1*\mu\]
\[g*\mu=f*e\]
栗子
-
\[g(k)=\sum_{p\in P\wedge pd=k}\mu(d)\]
\[f(p)=[p\in P]\]
\[g(k)=\sum_{pd=k}\mu(d)*f(p)\]
预处理卷积！！
然后每组询问的答案变成\[\sum_{k=1}^{min(n,m)} \lfloor \frac n k \rfloor\lfloor \frac m k\rfloor g(k)\]
\(\lfloor \frac n k \rfloor\lfloor \frac m k\rfloor\)只有\(O(\sqrt n)\)种取值
-
也就是说\((i,j)=\sigma(gcd(i,j))\)
记\(f_a[d]\)表示\(gcd(i,g)=d\)的格子的贡献
\[f_a[d]=\left\{\begin{matrix}0,&\sigma(d)>a&\\ \sigma(d),&oterwise\end{matrix}\right.\]
\[ans=\sum_df_a[d]\sum_k\mu(k)\lfloor\frac n{dk}\rfloor\lfloor\frac m {dk}\rfloor=\sum_t\lfloor\frac n t\rfloor\lfloor\frac m t\rfloor(\sum_{dk=t}f_a[d]\mu(k))\]
把所有变量离线下来，每次修改改变的h复杂度\(O(n\ ln\ n)\)