Catalan数的定义令h(1)=1，Catalan数满足递归式：h(n) = h(1)*h(n-1) +h(2)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(1)，n>=2该递推关系的解为：
证明：
令1表示进栈，0表示出栈，则可转化为求一个2n位、含n个1、n个0的二进制数，满足从左往右扫描到任意一位时，经过的0数不多于1数（也就是1的个数>=0的个数)。显然含n个1、n个0的2n位二进制数共有
个，可以理解为
下面考虑不满足要求的数目。用上面的所有组合数减去不满足的要求的数量
考虑一个含n个1、n个0的2n位二进制数，扫描到第2m+1位上时有m+1个0和m个1（容易证明一定存在这样的情况），然后互0和1的值，则后面的0排列中必有n-m个1和n-m-1个0。将2m+2及其以后的部分0变成1、1变成0，则对应一个n+1个0和n-1个1的二进制数。反之亦然（相似的思路证明两者一一对应）。
从而
证毕。
个人理解
解答： 设P2n为这样所得的数的个数。在2n位上填入n个1的方案数为 C（n 2n）
不填1的其余n位自动填以数0。从C（n 2n）中减去不符合要求的方案数即为所求。
不合要求的数指的是从左而右扫描，出现0的累计数超过1的累计数的数。
不合要求的数的特征是从左而右扫描时，必然在某一奇数2m+1位上首先出现m+1个0的累计数，和m个1的累计数。
此 后有n－m个1，n－m－1个0。如若把后面这部分0与1交换，使之成为n－m个0，n－m－1个1，结果得 1个由n+1个0和n－1个1组成的2n位数，即一个不合要求的数对应于一个由n－1个1和n+1个0组成的一个排列。
反过来，任何一个 由n+1个0，n－1个1组成的2n位数，由于0的个数多2个，2n是偶数，故必在某一个奇数位上出现0的累计数超过1的累计数。同样在后面的部分，令0 和1互换，使之成为由n个0和n个1组成的2n位数。即n+1个0和n－1个1组成的2n位数，必对应于一个不合要求的数。
用上述方法建立了由n+1个0和n－1个1组成的2n位数，与由n个0和n个1组成的2n位数中从左向右扫描出现0的累计数超过1的累计数的数一一对应。