【洛谷P1272】道路重建

题目大意：给定一个 N 个节点的树，求至少剪掉多少条边才能使得从树中分离出一个大小为 M 的子树。

题解：考虑树形 dp，定义 \(dp[u][i][t]\) 为以 u 为根节点与前 i 个子节点构成的子树中，保留 t 个节点（包括根节点）的最小代价，则状态转移方程为 \(dp[u][i][t]=min(dp[u][i][t],dp[u][i-1][t-k]+dp[v][son(v)][k]-2)\)，在这里之所以减掉 2，是因为在前 i-1 个子节点与 u 构成的子树中，必然不包括第 i 个子节点，因此代价默认算了 1；同理，对于 dp[v][][] 来说，默认剪掉了 (u,v)。因此，计算答案贡献时，需要将这个值补上。最后，dp[u][1]初始化为 u 的度。

代码如下

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=151;

inline int read(){
    int x=0,f=1;char ch;
    do{ch=getchar();if(ch=='-')f=-1;}while(!isdigit(ch));
    do{x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}while(isdigit(ch));
    return f*x;
}

struct node{
    int nxt,to;
}e[maxn<<1];
int tot=1,head[maxn],deg[maxn];
inline void add_edge(int from,int to){
    e[++tot]=node{head[from],to},head[from]=tot,++deg[to];
}
int n,m,ans,size[maxn],dp[maxn][maxn];

void read_and_parse(){
    memset(dp,0x3f,sizeof(dp));
    n=read(),m=read();
    for(int i=1,x,y;i<n;i++){
        x=read(),y=read();
        add_edge(x,y),add_edge(y,x);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)dp[i][1]=deg[i];
}

void dfs(int u,int fa){
    for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt){
        int v=e[i].to;if(v==fa)continue;
        dfs(v,u);
        for(int j=m;j>=0;j--)
            for(int k=1;k<=j;k++)
                dp[u][j]=min(dp[u][j],dp[u][j-k]+dp[v][k]-2);
    }
    ans=min(ans,dp[u][m]);
}

void solve(){
    ans=0x3f3f3f3f;
    dfs(1,0);
    printf("%d\n",ans);
}

int main(){
    read_and_parse();
    solve();
    return 0;
}