基于共轭对称的分类
模运算给出了对称的一种定义
x[n]=xcs[n]+xca[n]
圆周共轭对称
xcs[n]=21(x[n]+x∗[<−n>N]),0≤n≤N−1
圆周共轭反对称
xca[n]=21(x[n]−x∗[<−n>N]),0≤n≤N−1
例:考虑长度为
4的有限长序列,
0≤n≤3:
u[n]={1+j4,−2+j3,4−j2,−5−j6}
则
u∗[n]={1−j4,−2−j3,4+j2,−5+j6}
u∗[<−n>4]={1−j4,−5+j6,4+j2,−2−j3}
所以
ucs[n]={1,−3.5+j4.5,4,−3.5−j4.5}
uca[n]={j4,1.5−j1.5,−j2,−1.5−j1.5}
基于几何对称的分类
对称序列:
x[n]=x[N−1−n]
反对称序列
x[n]=−x[N−1−n]
由于
N可以为偶数,也可以为奇数,所以存在四种类型的几何对称的定义。
奇长度的对称序列
考虑长度为
5的序列
x[n]={↑1,2,3,2,1}
则其傅里叶变换为
X(ejw)=1+2e−jw+3e−j2w+2e−j3w+e−j4w=e−j2w(ej2w+2ejw+3+2e−jw+e−j2w)=e−j2w(3+4cosw+2cow2w)=e−j2N−1(x[2N−1]+2n=1∑2N−1x[2N−1−n]cos(nw))
偶长度的对称序列
考虑长度为
4的序列
x[n]={↑1,2,2,1}
其傅里叶变换为
X(ejw)=1+2e−jw+2e−j2w+e−j3w=e−j23w(ej23w+2ej2w+2e−j2w+e−j23w)=je−j23w(4cos(w/2)+2cos(3w/2))=je−j2(N−1)w(2n=1∑2Nx[2N−n]cos((n−1/2)w))
奇长度的反对称序列
同理可推导出
X(ejw)=je−j2N−1w(21∑2N−1x[2N−1−n]sin(nw))
偶长度的反对称序列
同理可推导出
X(ejw)=je−j2N−1w(21∑2Nx[2N−n]sin((n−1/2)w))