Boxes（思维+二分）

问题 K: Boxes

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题目描述

There are N boxes arranged in a circle. The i-th box contains Ai stones.

Determine whether it is possible to remove all the stones from the boxes by repeatedly performing the following operation:

Select one box. Let the box be the i-th box. Then, for each j from 1 through N, remove exactly j stones from the (i+j)-th box. Here, the (N+k)-th box is identified with the k-th box.
Note that the operation cannot be performed if there is a box that does not contain enough number of stones to be removed.

Constraints
1≤N≤105
1≤Ai≤109

输入

The input is given from Standard Input in the following format:

N
A1 A2 … AN

输出

If it is possible to remove all the stones from the boxes, print YES. Otherwise, print NO.

样例输入


4 5 1 2 3

样例输出

YES

提示

All the stones can be removed in one operation by selecting the second box.

题意：

给定n个盒子，每个盒子有a【i】个石头，可以进行多组操作，每次选中一个盒子然后依次在离选中盒子的i-th拿出i个石头（围成一个圈顺时针操作），问是否在若干组后能否正好拿完。

反思：

1.看到数据n 1e9 理所当然的以为用int 就可以，结果没想到后来求n*（n+1）/2 爆掉了。

2.看清题意是顺时针，注意差分的方向。

思路：

细想，他们之和一定是1+2+.....n的倍数，只有满足此条件才能若干操作恰好拿完，先求出要进行几次操作t=sum/((n*n+1)/2)。每次操作除了第一个数和最后一个数减去的数相差（1-n），其他相邻的都是相差1，所以由此想到差分，因为每次都是后面的比前面的多减1而已，那么求出a【i】-a【i-1】就是相差的这个数。如果不考虑第一个跟最后一个数，那么其他的一定为t，因为t次后他们没有了差值都为0，但是不为t的话一定就是（1-n）的改变了他们的差值，所以t-（a【i】-a【i-1】）一定要为n的倍数，而且这个数就是选定这个数几次进行操作。然后判断他们之和是否为t。

代码实现：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const int maxn=1e5+7;
int a[maxn];
int dis[maxn];
int main()
{
    ll n;
    cin>>n;
    ll sum=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>a[i];
        sum+=a[i];
    }

    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        dis[i]=a[i]-a[i-1];
    }
    dis[1]=a[1]-a[n];
    if(sum%(n*(n+1)/2))
    {
        cout<<"NO"<<endl;
        return 0;
    }
    ll t=sum/(n*(n+1)/2);
    int cnt=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(((t-dis[i])%n)||((t-dis[i])<0))
        {
            cout<<"NO"<<endl;
            return 0;
        }
        cnt+=((t-dis[i])/n);
    }
    if(cnt!=t)
        cout<<"NO"<<endl;
    else
        cout<<"YES"<<endl;
    return 0;
}