【题解】膨胀的木棍(思维、二分)

openjudge-膨胀的木棍

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描述

当长度为L的一根细木棍的温度升高n度，它会膨胀到新的长度L'=(1+n*C)*L，其中C是热膨胀系数。

当一根细木棍被嵌在两堵墙之间被加热，它将膨胀形成弓形的弧，而这个弓形的弦恰好是未加热前木棍的原始位置。

你的任务是计算木棍中心的偏移距离。

输入

三个非负实数：木棍初始长度（单位：毫米），温度变化（单位：度），以及材料的热膨胀系数。
保证木棍不会膨胀到超过原始长度的1.5倍。

输出

木棍中心的偏移距离（单位：毫米），保留到小数点后第三位。

样例输入

1000 100 0.0001

样例输出

61.329

参考：

http://blog.csdn.net/jeremygjy/article/details/49686943

http://blog.csdn.net/txl199106/article/details/49332261

 1 #include<stdio.h>
 2 #include<math.h>
 3 #define PI (acos(-1))
 4 #define eps (1e-14)
 5 int main(int argc, char *argv[])
 6 {
 7     double L,n,C,L1;
 8     
 9     double minCentralAngle,maxCentralAngle,CentralAngle;
10     double radius,L2;
11     double ans;
12     
13     scanf("%lf%lf%lf",&L,&n,&C);
14     
15     if(n*C*L<=eps)   //假如膨胀量太小就不用计算了，直接认为结果就是0. 
16     {
17         printf("0.000\n");
18         return 0;
19     }
20     
21     L1=(1+n*C)*L;
22     
23     //下面对圆心角进行二分枚举
24     //（膨胀量不超过原来的1.5倍，
25     //分析圆的半周长PI*R与直径2*R的关系可知圆心角范围0~2*PI而且不可能取2*PI） 
26     minCentralAngle=0;//圆心角的极小值 
27     maxCentralAngle=PI;//圆心角的极大值 
28     while(minCentralAngle<maxCentralAngle-eps)
29     {
30         CentralAngle=(minCentralAngle+maxCentralAngle)/2;
31         radius=L/2/sin(CentralAngle/2);
32         L2=CentralAngle*radius;
33         if(L2>=L1)//当弦长固定时，圆心角越大 ，弧长就越大 
34             maxCentralAngle=CentralAngle;
35         else if(L2<L1)
36             minCentralAngle=CentralAngle;
37     }
38     radius=L/2/sin(minCentralAngle/2);
39     ans=radius-L/2/tan(minCentralAngle/2);
40     printf("%.3lf\n",ans);
41     return 0;
42 }

一定要注意：我们需要二分的内容是当前角度，那么角度的范围可以很容易发现，因为木棍长度不超过1.5倍那么就定角度为0-

另外要注意：当弦长固定时，圆心角越大，弧长就越大。

网友JeremyGJY的代码和分析很好，摘抄一下:

JeremyGJY的代码:

 1 #include <cstdio>
 2 #include <cmath>
 3 #include <algorithm>
 4 using namespace std;
 5 const double PI = asin(1.0);
 6 const double eps = 1e-14;
 7 int main(){
 8     double Len1, Len2, Temp, ks;
 9     while(scanf("%lf%lf%lf", &Len1, &Temp, &ks) != EOF){
10         Len2 = (1.0 + Temp * ks) * Len1;
11         double l=0, r=PI;
12         if(Temp * ks * Len1 <= eps){
13             printf("%.3lf\n", 0.0);
14             continue;
15         }
16         while(l < r - eps){
17             double mid = (l + r)/2.0;
18             if(Len1/sin(mid)*PI*(mid/PI) >= Len2)
19                 r = mid;
20             else l = mid;
21         }
22         printf("%.3lf\n", Len1/2/sin(l)-Len1/2/sin(l)*cos(l));
23     }
24 
25     return 0;
26 }

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csdn网友Tank_long的分析更精彩，只不过下面这个图的公式似乎有点乱。

公式大概如下：

首先要注意θ角是圆心角的一半。然后根据数学公式有：

sinθ=2sin（θ/2）cos(θ/2)

1-cosθ=2sin(θ/2)²

然后还要注意根据直角三角形正弦的定义有：L=2*R*sinθ

根据弧长公式有LL=2*R*θ

所以h=R-R*cosθ=R*（1-cosθ）=L/(2*sinθ)*(1-cosθ)=L/(2*sinθ)*(2sin(θ/2)²)=L/( 2* ( 2*sin（θ/2）*cos(θ/2) ) )*(2sin(θ/2)²)

最后h=L/2*tan(θ/2)

注意到θ是圆心角的一半，所以θ得区间是0~PI，根据正切函数图形性质可以知道当L固定时，h跟θ是成正比关系的。

Tank_long的代码：（不得不佩服起数学功底啊……）

 1 #include<stdio.h>  
 2 #include<stdlib.h>  
 3 #include<math.h>  
 4 int main()  
 5 {  
 6     double l, ll, rig, lef, mid, n, c;  
 7     scanf("%lf%lf%lf", &l, &n, &c);  
 8   
 9     if(l<1e-14)  
10     {  
11         printf("0.000\n");  
12         return 0;  
13     }  
14     ll=l*(1+n*c);  
15     lef=0.0;          //角的极小值  
16     rig=asin(1.0);    //角的极大值  
17     //由于三角函数转换，得到 h= (l/2)*tan(@/2) , 所以h只与角@有关,使用二分逼近法去求解最接近的@即可  
18     //注意，二分验证是让 ll与角@ 计算得到的 木棍原始长度l`=ll*sin@/@ 与 l 进行比较，且l`与@成反比例关系  
19     while(rig-lef>1e-14)   //在极大值与极小值之间进行二分，这个地方精度控制太低就过不了了。精度要求很高。  
20     {  
21         mid=(rig+lef)/2;  
22         if(ll*sin(mid)/mid<=l)  
23             rig=mid;  
24         else  
25             lef=mid;  
26     }  
27     printf("%.3lf\n", l/2*tan(lef/2));  
28     return 0;  
29 }

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三角函数公式补充：

【题解】膨胀的木棍(思维、二分)

JeremyGJY的代码:

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