模拟赛题解 naive （二分）

题意

有\(n(n\le10^{10})\)层楼，第\(m(0\le m\le n)\)层以下扔鸡蛋不会碎。你有\(k(0\le k\le 64)\)个鸡蛋，求找出这个\(m\)在最坏情况下需要多少次试验。

题解

最朴素的思想时直接\(DP\)，\(f(n,k)\)表示\(n\)层楼有\(k\)个鸡蛋的答案。枚举在哪一层楼扔鸡蛋就能转移了。\(O(n^2k)\)。考模拟赛时我在这个基础上，大力猜结论+乱搞然后0分。

转化思路。设\(g(x,k)\)表示做\(x\)次试验，有\(k\)个鸡蛋能确定的最高层数。如果能够知道\(g\)就可以二分求答案。
显然当前楼下面还可以有\(g(x-1,k)\)层楼，上面还可以有\(g(x-1,k-1)\)层楼，加上本身这一层，转移方程式就是\[g(x,k)=g(x-1,k)+g(x-1,k-1)+1\]

根据打表找规律可以发现，且通过数学归纳法可证明\(g(x,k)=\sum_{i=1}^k\binom{x}{i}\)。那么这样可以得到\(80\)分的高分。

考虑到求组合数在\(x\)很大的时候比较慢。但是可以发现只有当\(k=1/2\)时，所需要的\(x\)会比较大，其他情况都很小。那么我们用前面的递推式预处理出一部分\(g\)，其他情况暴力计算组合数，就能过了。具体见代码。

CODE

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef long double LD;
template<class T>inline void read(T &x) {
    char ch; int flg = 1; while(!isdigit(ch=getchar()))if(ch == '-')flg=-flg;
    for(x = ch-'0'; isdigit(ch=getchar()); x = x*10+ch-'0'); x *= flg;
}
const int N = 100000;
const LL inf = 1ll<<60;
LL n, k, f[N+5][65];
bool chk(LL x) {
    if(x <= N) return f[x][k] >= n;
    LL c = x, sum = x;
    if(sum >= n) return 1;
    for(int i = 2; i <= k; ++i) {
        if((LD)c * (x-i+1) / i >= n) return 1;
        c = c * (x-i+1) / i;
        if((sum+=c) >= n) return 1;
    }
    return 0;
}
int main () {
    freopen("naive.in", "r", stdin);
    freopen("naive.out", "w", stdout);
    for(int i = 1; i <= N; ++i)
        for(int j = 1; j <= 64; ++j)
            f[i][j] = min(inf, f[i-1][j] + f[i-1][j-1] + 1);
    int T; read(T);
    while(T--) {
        read(n), read(k);
        LL l = 1, r = n, mid;
        while(l < r) {
            mid = (l + r) >> 1;
            if(chk(mid)) r = mid;
            else l = mid + 1;
        }
        printf("%lld\n", l);
    }
}