聚类算法之kmeans算法

　首先要来了解的一个概念就是聚类，简单地说就是把相似的东西分到一组，同 Classification (分类)不同，对于一个 classifier ，通常需要你告诉它“这个东西被分为某某类”这样一些例子，理想情况下，一个 classifier 会从它得到的训练集中进行“学习”，从而具备对未知数据进行分类的能力，这种提供训练数据的过程通常叫做 supervised learning (监督学习)，而在聚类的时候，我们并不关心某一类是什么，我们需要实现的目标只是把相似的东西聚到一起，因此，一个聚类算法通常只需要知道如何计算相似度就可以开始工作了，因此 clustering 通常并不需要使用训练数据进行学习，这在 Machine Learning 中被称作 unsupervised learning (无监督学习)。

　　我们经常接触到的聚类分析，一般都是数值聚类，一种常见的做法是同时提取 N 种特征，将它们放在一起组成一个 N 维向量，从而得到一个从原始数据集合到 N 维向量空间的映射——你总是需要显式地或者隐式地完成这样一个过程，然后基于某种规则进行分类，在该规则下，同组分类具有最大的相似性。

　　假设我们提取到原始数据的集合为(x1, x2, …, xn)，并且每个xi为d维的向量，K-means聚类的目的就是，在给定分类组数k（k ≤ n）值的条件下，将原始数据分成k类
S = {S1, S2, …, Sk}，在数值模型上，即对以下表达式求最小值：
$\underset{\mathbf{S}} {\operatorname{arg\,min}} \sum_{i=1}^{k} \sum_{\mathbf x_j \in S_i} \left\| \mathbf x_j - \boldsymbol\mu_i \right\|^2$
这里μi 表示分类Si 的平均值。

　　那么在计算机编程中，其又是如何实现的呢？其算法步骤一般如下：

1、从D中随机取k个元素，作为k个簇的各自的中心。

2、分别计算剩下的元素到k个簇中心的相异度，将这些元素分别划归到相异度最低的簇。

3、根据聚类结果，重新计算k个簇各自的中心，计算方法是取簇中所有元素各自维度的算术平均数。

4、将D中全部元素按照新的中心重新聚类。

5、重复第4步，直到聚类结果不再变化。

6、将结果输出。

　　用数学表达式来说，

设我们一共有 N 个数据点需要分为 K 个 cluster ，k-means 要做的就是最小化

$\displaystyle J = \sum_{n=1}^N\sum_{k=1}^K r_{nk} \|x_n-\mu_k\|^2$

这个函数，其中 $r_{nk}$ 在数据点 n 被归类到 cluster k 的时候为 1 ，否则为 0 。直接寻找 $r_{nk}$ 和 $\mu_k$ 来最小化并不容易，不过我们可以采取迭代的办法：先固定 $\mu_k$ ，选择最优的 $r_{nk}$ ，很容易看出，只要将数据点归类到离他最近的那个中心就能保证最小。下一步则固定 $r_{nk}$ ，再求最优的 $\mu_k$ 。将对 $\mu_k$ 求导并令导数等于零，很容易得到最小的时候 $\mu_k$ 应该满足：

$\displaystyle \mu_k=\frac{\sum_n r_{nk}x_n}{\sum_n r_{nk}}$

亦即 $\mu_k$ 的值应当是所有 cluster k 中的数据点的平均值。由于每一次迭代都是取到的最小值，因此只会不断地减小（或者不变），而不会增加，这保证了 k-means 最终会到达一个极小值。虽然 k-means 并不能保证总是能得到全局最优解，但是对于这样的问题，像 k-means 这种复杂度的算法，这样的结果已经是很不错的了。

首先 3 个中心点被随机初始化，所有的数据点都还没有进行聚类，默认全部都标记为红色，如下图所示：

iter_00

然后进入第一次迭代：按照初始的中心点位置为每个数据点着上颜色，重新计算 3 个中心点，结果如下图所示：

iter_01

可以看到，由于初始的中心点是随机选的，这样得出来的结果并不是很好，接下来是下一次迭代的结果：

iter_02

可以看到大致形状已经出来了。再经过两次迭代之后，基本上就收敛了，最终结果如下：

iter_04

不过正如前面所说的那样 k-means 也并不是万能的，虽然许多时候都能收敛到一个比较好的结果，但是也有运气不好的时候会收敛到一个让人不满意的局部最优解，例如选用下面这几个初始中心点：

iter_00_bad

最终会收敛到这样的结果：

iter_03_bad

　　整体来讲，K-means算法的聚类思想比较简单明了，并且聚类效果也还算可以，算是一种简单高效应用广泛的 clustering 方法,下面我们将进行一个简单的kmeans算法来对从淘宝爬下的商品数据进行聚类实战

#通过程序实现商品信息的聚类
import  pandas as pda
import  numpy as npy
import  matplotlib.pylab as pyl
import pymysql
dbconn=pymysql.connect(host="127.0.0.1",user="root",passwd="root",db="db")
sql="select price,comment from taob limit 900"
dataf=pda.read_sql(sql,dbconn)
x=dataf.iloc[:,:].as_matrix()
from sklearn.cluster import  KMeans
kms=KMeans(n_clusters=3)  #让商品分为3类
y=kms.fit_predict(x)
print(y)
#接下来则通过数据可视化来显示分类的情况
for i in range(0,len(y)):
    if(y[i]==0):
        pyl.plot(dataf.iloc[i:i+1,0:1].as_matrix(),dataf.iloc[i:i+1,1:2].as_matrix(),"*r")
    elif(y[i]==1):
        pyl.plot(dataf.iloc[i:i+1, 0:1].as_matrix(), dataf.iloc[i:i+1, 1:2].as_matrix(), "sy")

    elif(y[i]==2):
        pyl.plot(dataf.iloc[i:i+1, 0:1].as_matrix(), dataf.iloc[i:i+1, 1:2].as_matrix(), "pk")
pyl.show()
运行结果：可能数据质量不太好，造成分类后的效果不太明显

聚类算法之kmeans算法

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