题目描述
a[1]=a[2]=a[3]=1
a[x]=a[x-3]+a[x-1] (x>3)
求a数列的第n项对1000000007（10^9+7）取余的值。
输入输出格式
输入格式：
第一行一个整数T，表示询问个数。
以下T行，每行一个正整数n。
输出格式：
每行输出一个非负整数表示答案。
输入输出样例
输入样例#1： 复制
3
6
8
10
输出样例#1： 复制
4
9
19
说明
对于30%的数据 n<=100；
对于60%的数据 n<=2*10^7；
我理解的矩阵快速幂做法呢（这里不讲原理了）。是将题目出现的数列全部出现在这个目的矩阵里面。比如该题出现了a[x],a[x-1],a[x-3].那么在目的矩阵就要出现（这里是行，在草稿纸上当成只有一列）（a[x]，a[x-1],a[x-2],a[x-3])在转置矩阵就要比目的矩阵每个数少一位（a[x-1],a[x-2],a[x-3]）;通过简单的构造可以将base矩阵构造出来（1，0，1）（1，0，0）（0，1，0）；
套用模板即可。但是这里只适合单纯的加法，如果每一项都加一个常数，或者每个方程里的a[x-1]前面乘了一个常数怎么去处理呢？
（更新）解决办法：
举例：1.f(n)=f(n-1)+2*f(n-2)+1即为递推式。另：初始化f(1)=1，f(2)=2
2.矩阵快速幂中，遇到含有常数的式子，可以把A矩阵扩展为3*3的矩阵。
即最终得到下式：
| f(n) | | 1 2 1 | | f(n-1) |
| f(n-1) | = | 1 0 0 | * | f(n-2) |
| 1 | | 0 0 1 | | 1 |
以上的方法就可以解决带有系数或者带有常数的情况。
又或者是
| F[n] = F[n-1] * F[n-2] ( n > 1 ) 这样的方程怎么去构造呢？ |
以上问题均后续再补（本文章持续更新）
对于100%的数据 T<=100，n<=2*10^9；
先处理这个题吧：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define MAXN 3
const ll mod=1e9+7;
struct Matrix
{
ll mat[MAXN][MAXN];
Matrix() {}
Matrix operator*(Matrix const &b)const
{
Matrix res;
memset(res.mat, 0, sizeof(res.mat));
for (int i = 0 ;i < MAXN; i++)
for (int j = 0; j < MAXN; j++)
for (int k = 0; k < MAXN; k++)
res.mat[i][j] = (res.mat[i][j]+this->mat[i][k] * b.mat[k][j])%mod;
return res;
}
};
Matrix pow_mod(Matrix base, int n)
{
Matrix res;
memset(res.mat, 0, sizeof(res.mat));
for (int i = 0; i < MAXN; i++)
res.mat[i][i] = 1;
while (n > 0)
{
if (n & 1) res = res*base;
base = base*base;
n >>= 1;
}
return res;
}
Matrix base,fi;
int main()
{
base.mat[0][0] = 1;
base.mat[0][2] = 1;
base.mat[1][0] = 1;
base.mat[2][1] = 1;
fi.mat[0][0]=1;
fi.mat[1][0]=1;
fi.mat[2][0]=1;
int n,t;
cin>>t;
while(t--)
{
scanf("%d",&n);
if(n<=3)
{
printf("1\n");
continue;
}
Matrix ans = pow_mod(base, n-3);
ans=ans*fi;
printf("%lld\n", ans.mat[0][0]);
}
return 0;
}