洛谷 P3390 【模板】矩阵快速幂

洛谷 P3390 【模板】矩阵快速幂

Description

• 给定n*n的矩阵A，求A^k
• n<=100, k<=10^12, |矩阵元素|<=1000

Input

• 第一行，n,k

  第2至n+1行，每行n个数，第i+1行第j个数表示矩阵第i行第j列的元素

Output

• 输出A^k

  共n行，每行n个数，第i行第j个数表示矩阵第i行第j列的元素，每个元素模10^9+7

Sample Input

2 1
1 1
1 1

Sample output

1 1
1 1

题解：

• 算法如题所示。

• 矩阵是什么？

  • 就是一个矩阵，字面意思。

• 矩阵如何运算？

  1. 加法：对于两个形一样的矩阵，对应的位置相加就好了
  2. 减法：同加法一样
  3. 除法：貌似实际中是有的，但是OI中不常用，不讨论
  4. 乘法：矩阵乘法是重头戏，她有个前提条件，两个矩阵相乘，必须满足(n, m) * (m, p) = (n, p)。（前一个个数是行，后一个数是列）。就像这样↓(2, 2) * (2, 1) = (2, 1)

\[ \left\{ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 3 \\ \end{matrix} \right\} * \left\{ \begin{matrix} 2 \\ 2 \\ \end{matrix} \right\} = \left\{ \begin{matrix} 1 * 2 + 1 * 2 \\ 0 * 2 + 3 * 2 \\ \end{matrix} \right\} \]

\[ \left[ \begin{matrix} 2 \\ 2 \\ \end{matrix} \right] * \left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 3 \\ \end{matrix} \right] != \left[ \begin{matrix} 1 * 2 + 1 * 2 \\ 0 * 2 + 3 * 2 \\ \end{matrix} \right] 但这样写就是错的！ \]

• 因为(2, 1) * (2, 2)。1 ！= 2，不符合矩阵乘法意义。

  • 所以由此还可以推出：矩阵不满足交换律

• 矩阵有什么用？

  • 优化递推式。
  • 我怎么知道什么时候要优化递推式？
    • 数据范围极大，比如10的18次方什么的，O(n)都过不去的
  • 怎么优化？
  • 一般优化就是优化在矩阵快速幂上，但写完快速幂之后怎么优化，转这里
  • 所以现在任务就是写矩阵快速幂！

• 矩阵快速幂：

  • 首先易得矩阵乘法是满足结合律的，所以快速幂的形跟普通的快速幂没有什么区别，直接给出代码，细细品味一下。（反正我看了一篇大概就懂了）

  #include <iostream>
  #include <cstdio>
  #define maxn 105
  #define mod 1000000007
  #define LL long long
  using namespace std;
  
  struct Obj {LL a[maxn][maxn];} x, d;
  LL n, p;
  
  Obj mul(Obj x, Obj y)
  {
    Obj r;
    for(LL i = 1; i <= n; i++)
        for(LL j = 1; j <= n; j++)
            r.a[i][j] = 0;
    for(LL i = 1; i <= n; i++)
        for(LL j = 1; j <= n; j++)
            for(LL k = 1; k <= n; k++)
                r.a[i][j] += (x.a[i][k] % mod * y.a[k][j] % mod) % mod,
                r.a[i][j] %= mod;
    return r;
  }
  
  Obj power(Obj x, LL p)
  {
    Obj r = d, base = x;
    while(p)
    {
        if(p & 1) r = mul(r, base);
        base = mul(base, base);
        p >>= 1;
    }
    return r;
  }
  
  int main()
  {
    cin >> n >> p;
    for(LL i = 1; i <= n; i++)
        for(LL j = 1; j <= n; j++)
            cin >> x.a[i][j];
    for(LL i = 1; i <= n; i++) d.a[i][i] = 1;
    Obj ans = power(x, p);
    for(LL i = 1; i <= n; i++)
    {
        for(LL j = 1; j <= n; j++)
            cout << ans.a[i][j] % mod << ' ';
        cout << endl;
    }
    return 0;
  }