剑指Offer66题之7-12

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第7题：斐波那契数列

题目

大家都知道斐波那契数列，现在要求输入一个整数n，请你输出斐波那契数列的第n项。n<=39。

解析

斐波那契数列的定义：

• $F_0 = 0, F_1 = 1$ ;
• $F_n = F_{n-1} + F_{n-2} ( n \geq 2)$
  可以从 $F_0 = 0, F_1 = 1$ 开始;，不断向前计算，最后得到 $F_n$; 也可以采用递归

class Solution {
public:
    int Fibonacci(int n) {
        if (n == 0)
            return 0;
        if (n == 1)
            return 1;
        int f1 = 0, f2 = 1, ret;
        // 1）前向计算
        for (int i = 2; i <= n; i++)
            ret = f1 + f2, f1 = f2, f2 = ret;
        // 2) 递归方法
        /* 
        ret = Fibonacci(n-1) + Fibonacci(n-2);
        */        
        return ret;
    }
};

第8题：跳台阶

题目：

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

解析

最简单的动态规划，考虑最后跳上第n阶台阶，有两种方式往上跳：

• 从第n - 1阶往上跳一级到第n阶；
• 从第n - 2阶往上跳二级到第n阶。
  那么 $f(i)$表示该青蛙跳上一个i级的台阶总共跳法 $f(i)=f(i−1)+f(i−2),f(0)=f(1)=1$这就是变形版的斐波拉契数列，直接求解。

class Solution {
public:
    int jumpFloor(int n) {
        if (n == 1)
            return 1;
        int f1 = 1, f2 = 1, ret;
        for (int i = 2; i <= n; i++)
            ret = f1 + f2, f1 = f2, f2 = ret;
        return ret;
    }
};

第9题： 变态跳台阶

题目：

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

解析

根据上题可以写出下面的公式：
$f(n)=f(0)+f(1)+⋯+f(n−1),f(0)=1$
注意到: $f(0)+f(1)+⋯+f(n−2)=f(n−1)$，
那么: $f(n)=f(0)+f(1)+⋯+f(n−2)+f(n-1)=2f(n-1$)
这是一个首项为1，公比为2的等比数列，直接可以得到最终表达式 $f(n)=2^{n−1}$

class Solution {
public:
    int jumpFloorII(int number) {
    	// 将1左移number-1位
        return 1 << (number - 1);
    }
};

备注

C++中, i<<num为将i的二进制左移num位，对应十进制放大 $2^{num}$次方，同理>>为右移运算符

第10题：矩形覆盖

题目：

我们可以用2*1的小矩形横着或者竖着去覆盖更大的矩形。请问用n个2*1的小矩形无重叠地覆盖一个2*n的大矩形，总共有多少种方法？

解析

类似跳台阶的动态规划问题，考虑覆盖最后 $f(n)$可能的情况，可能是 $f(n-1)$之后竖着覆盖一个，有可能是 $f(n-2)$后横着覆盖两个，所以 $f(n)=f(n-1)+f(n-2)$,另外， $f(1)=1$（竖着覆盖一个）， $f(2)=2$ (竖着2个，或横着2个).

class Solution {
public:
    int rectCover(int number) {
        if (number == 0)
            return 0;
        if (number == 1)
            return 1;
        if (number == 2)
            return 2;
        int f1 = 1, f2 = 2, ret;
        for (int i = 3; i <= number; i++)
            ret = f1 + f2, f1 = f2, f2 = ret;
        return ret;
    }
};

第11题：二进制数中1的个数

题目

输入一个整数，输出该数二进制表示中1的个数。其中负数用补码表示。

解析

• 思路1：先判断整数二进制最右边一位是不是1.接着把输入的整数右移一位，此时原来处于右边数第二位的移到最右边了，再判断是不是1(i.e. n&1).这样每次移动一位，直到整个整数变成0为止。如果n是正数，右移一位最左边补0，若是负数，右移之后最左边补1，会陷入死循环。思路1否决。

class Solution {
public:
     int  NumberOf1(int n) {
         int ret = 0;
         while (n>0)
         {
         	if (（n&1) == 1)
         		ret++;
         	n = n >> 1;
         } 
         return ret;
     }
};

• 思路2：不右移n。首先n与1做与运算，判断n的最低位是不是1。然后把1左移一位，再与n做与运算，就能判断i的低次位是不是1。不断左移，就能不断判断n的每一位是不是1. 思路2正确。

class Solution {
public:
     int  NumberOf1(int n) {
         int ret = 0;
         uint flag = 1;
         while (flag>=1)
         {
         	if ((n&flag) > 0)
         		ret++;
         	flag = flag <<1;
         } 
         return ret;
     }
};

• 思路3.把一个整数减去1，再和原来的整数做与运算，会把该整数最右边一个1变成0。那么一个整数的二进制表示中有多少个1，就可进行多少次这样操作。如果没有1了，此操作结果即为0.

class Solution {
public:
     int  NumberOf1(int n) {
         int ret = 0;
         while (n>0)
         {
			ret++;
			n = (n-1)&n;
         } 
         return ret;
     }
};

备注

此题考查位运算。
位逻辑运算符 : & (与)，^ (异或)， | (或)，~ (取反). 移位运算符：<< (左移)，>> (右移)。
&运算通常用于二进制取位操作，例如一个数 &1的结果就是取二进制的最末位。
^运算通常用于对二进制的特定一位进行取反操作，^ 运算的逆运算是它本身，也就是说两次异或同一个数最后结果不变，即（a ^ b) ^ b=a；
a<<b表示把a转为二进制后左移b位（在后面添加 b个0）,a<<b的值实际上就是a乘以2的b次方,通常认为a<<1比a*2更快，因为前者是更底层一些的操作
a>>b表示二进制右移b位（去掉末b位），相当于a除以2的b次方（取整）。我们经常用>>1来代替 /2

第12题：数值的整数次方

题目

给定一个double类型的浮点数base和int类型的整数exponent。求base的exponent次方。

解析

二分求解。 $base^{exp} = (base^{exp/2})^2*(base\ or\ 1)$
计算时判断exp的正负和奇偶
时间复杂度： $O(logn)$

class Solution {
public:
    double Power(double base, int exponent) {
    	//判断exponent的正负
        bool f = exponent < 0;
        // 如果exponent为0，返回1
        if ((exponent = abs(exponent)) == 0)
            return 1.0;
        // 计算二分解
        double ret = Power(base, exponent / 2);
        // 根据奇偶判断
        ret = exponent % 2 ? ret * ret * base : ret * ret;
        //根据正负判断
        return f ? 1.0 / ret : ret;
    }
};

参考：
剑指Offer66题之每日6题 - 第二天
剑指Offer面试题：9.二进制中1的个数