LG4768 [NOI2018]归程

题意

题目背景

本题因为一些原因只能评测16组数据。

剩下的四组数据：https://www.luogu.org/problemnew/show/U31655

题目描述

本题的故事发生在魔力之都，在这里我们将为你介绍一些必要的设定。 魔力之都可以抽象成一个 $n$ 个节点、 $m$ 条边的无向连通图（节点的编号从 $1$ 至 $n$）。我们依次用 $l,a$ 描述一条边的长度、海拔。 作为季风气候的代表城市，魔力之都时常有雨水相伴，因此道路积水总是不可避免 的。由于整个城市的排水系统连通，因此有积水的边一定是海拔相对最低的一些边。我们用水位线来描述降雨的程度，它的意义是：所有海拔不超过水位线的边都是有积水的。

Yazid 是一名来自魔力之都的OIer，刚参加完ION2018 的他将踏上归程，回到他 温暖的家。 Yazid 的家恰好在魔力之都的 $1$ 号节点。对于接下来 $Q$ 天，每一天Yazid 都会告诉你他的出发点 $v$ ，以及当天的水位线 $p$。 每一天，Yazid 在出发点都拥有一辆车。这辆车由于一些故障不能经过有积水的边。 Yazid 可以在任意节点下车，这样接下来他就可以步行经过有积水的边。但车会被留在他下车的节点并不会再被使用。 需要特殊说明的是，第二天车会被重置，这意味着：

• 车会在新的出发点被准备好。
• Yazid 不能利用之前在某处停放的车。

Yazid 非常讨厌在雨天步行，因此他希望在完成回家这一目标的同时，最小化他步行经过的边的总长度。请你帮助 Yazid 进行计算。 本题的部分测试点将强制在线，具体细节请见【输入格式】和【子任务】。

输入输出格式

输入格式：

单个测试点中包含多组数据。输入的第一行为一个非负整数 $T$，表示数据的组数。

接下来依次描述每组数据，对于每组数据：

第一行 $2$ 个非负整数 $n,m$，分别表示节点数、边数。

接下来 $m$ 行，每行 $4$ 个正整数 $u, v, l, a$，描述一条连接节点 $u, v$ 的、长度为 $l$、海拔为 $a$ 的边。 在这里，我们保证 $1 \leq u,v \leq n$。

接下来一行 $3$ 个非负数 $Q, K, S$ ，其中 $Q$ 表示总天数， $K \in {0,1}$ 是一个会在下面被用到的系数， $S$ 表示的是可能的最高水位线。

接下来 $Q$ 行依次描述每天的状况。每行 $2$ 个整数 $v_0; p_0$ 描述一天：
这一天的出发节点为 $v = (v_0 + K \times \mathrm{lastans} - 1) \bmod n + 1$。
这一天的水位线为 $p = (p_0 + K \times \mathrm{lastans}) \bmod (S + 1)$。
其中 lastans 表示上一天的答案（最小步行总路程）。特别地，我们规定第 $1$ 天时 lastans = 0。 在这里，我们保证 $1 \leq v_0 \leq n,0 \leq p_0 \leq S$ 。

对于输入中的每一行，如果该行包含多个数，则用单个空格将它们隔开。

输出格式：

依次输出各组数据的答案。对于每组数据：

• 输出 $Q$ 行每行一个整数，依次表示每天的最小步行总路程。

输入输出样例

输入样例#1： 复制

1
4 3
1 2 50 1
2 3 100 2
3 4 50 1
5 0 2
3 0
2 1
4 1
3 1
3 2

输出样例#1： 复制

0
50
200
50
150

输入样例#2： 复制

1
5 5
1 2 1 2
2 3 1 2
4 3 1 2
5 3 1 2
1 5 2 1
4 1 3
5 1
5 2
2 0
4 0

输出样例#2： 复制

0
2
3
1

说明

【样例1 解释】 第一天没有降水，Yazid 可以坐车直接回到家中。

第二天、第三天、第四天的积水情况相同，均为连接1; 2 号节点的边、连接3; 4 号 点的边有积水。

对于第二天，Yazid 从2 号点出发坐车只能去往3 号节点，对回家没有帮助。因此 Yazid 只能纯靠徒步回家。

对于第三天，从4 号节点出发的唯一一条边是有积水的，车也就变得无用了。Yazid只能纯靠徒步回家。

对于第四天，Yazid 可以坐车先到达2 号节点，再步行回家。

第五天所有的边都积水了，因此Yazid 只能纯靠徒步回家。

本组数据强制在线。

本组数据强制在线。

第一天的答案是 $0$，因此第二天的 $v=\left( 5+0-1\right)\bmod 5+1=5$， $p=\left(2+0\right)\bmod\left(3+1\right)=2$。

第二天的答案是 $2$，因此第三天的 $v=\left( 2+2-1\right)\bmod 5+1=4$， $p=\left(0+2\right)\bmod\left(3+1\right)=2$。

第三天的答案是 $3$，因此第四天的 $v=\left( 4+3-1\right)\bmod 5+1=2$， $p=\left(0+3\right)\bmod\left(3+1\right)=3$。

所有测试点均保证 $T\leq 3$，所有测试点中的所有数据均满足如下限制：

• $n\leq 2\times 10^5$， $m\leq 4\times 10^5$， $Q\leq 4\times 10^5$， $K\in\left\{0,1\right\}$， $1\leq S\leq 10^9$。
• 对于所有边： $l\leq 10^4$， $a\leq 10^9$。
• 任意两点之间都直接或间接通过边相连。

为了方便你快速理解，我们在表格中使用了一些简单易懂的表述。在此，我们对这些内容作形式化的说明：

• 图形态：对于表格中该项为“一棵树”或“一条链”的测试点，保证m = n-1。 除此之外，这两类测试点分别满足如下限制：
• 一棵树：保证输入的图是一棵树，即保证边不会构成回路。
• 一条链：保证所有边满足u + 1 = v。
• 海拔：对于表格中该项为“一种”的测试点，保证对于所有边有a = 1。
• 强制在线：对于表格中该项为“是”的测试点，保证K = 1；如果该项为“否”， 则有K = 0。
• 对于所有测试点，如果上述对应项为“不保证”，则对该项内容不作任何保证。

$n$	$m$	$Q=$	测试点	形态	海拔	强制在线
$\leq 1$	$\leq 0$	$0$	1	不保证	一种	否
$\leq 6$	$\leq 10$	$10$	2	不保证	一种	否
$\leq 50$	$\leq 150$	$100$	3	不保证	一种	否
$\leq 100$	$\leq 300$	$200$	4	不保证	一种	否
$\leq 1500$	$\leq 4000$	$2000$	5	不保证	一种	否
$\leq 200000$	$\leq 400000$	$100000$	6	不保证	一种	否
$\leq 1500$	$=n-1$	$2000$	7	一条链	不保证	否
$\leq 1500$	$=n-1$	$2000$	8	一条链	不保证	否
$\leq 1500$	$=n-1$	$2000$	9	一条链	不保证	否
$\leq 200000$	$=n-1$	$100000$	10	一棵树	不保证	否
$\leq 200000$	$=n-1$	$100000$	11	一棵树	不保证	是
$\leq 200000$	$\leq 400000$	$100000$	12	不保证	不保证	否
$\leq 200000$	$\leq 400000$	$100000$	13	不保证	不保证	否
$\leq 200000$	$\leq 400000$	$100000$	14	不保证	不保证	否
$\leq 1500$	$\leq 4000$	$2000$	15	不保证	不保证	是
$\leq 1500$	$\leq 4000$	$2000$	16	不保证	不保证	是
$\leq 200000$	$\leq 400000$	$100000$	17	不保证	不保证	是
$\leq 200000$	$\leq 400000$	$100000$	18	不保证	不保证	是
$\leq 200000$	$\leq 400000$	$400000$	19	不保证	不保证	是
$\leq 200000$	$\leq 400000$	$400000$	20	不保证	不保证	是

分析

显然找到不积水的连通块中的节点的最短路的最小值即可。最短路可以SPFADijkstra求，要干的就是找连通块。

把边按海拔从高到低排序，使用Kruskal重构树，这样连通块一定是一个子树，维护倍增的祖先和海拔最小值即可。

时间复杂度log级别。

加密算法要用到n的值，而我重构的时候直接++n了，所以一直错。找了好久才发现第二组样例都没有过。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define rg register
#define il inline
#define co const
template<class T>il T read(){
    rg T data=0,w=1;rg char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)) {if(ch=='-') w=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)) data=data*10+ch-'0',ch=getchar();
    return data*w;
}
template<class T>il T read(rg T&x) {return x=read<T>();}
typedef long long ll;
using namespace std;

co int N=4e5+1,INF=0x7fffffff;
int n,m,dis[N];
vector<pair<int,int> > g[N];
void dijkstra(){
    fill(dis+2,dis+n+1,INF);
    priority_queue<pair<int,int> > pq;
    pq.push(make_pair(-dis[1],1));
    while(pq.size()){
        int d=-pq.top().first,u=pq.top().second;pq.pop();
        if(d>dis[u]) continue;
        for(int i=0;i<g[u].size();++i){
            int v=g[u][i].first,w=g[u][i].second;
            if(d+w<dis[v]) dis[v]=d+w,pq.push(make_pair(-dis[v],v));
        }
    }
}

struct edge{int u,v,a;}e[N];
bool operator<(co edge&a,co edge&b) {return a.a>b.a;}
int fa[N];
int find(int x) {return x==fa[x]?x:fa[x]=find(fa[x]);}
int anc[N][20],val[N][20];
void kruskal(){
    sort(e+1,e+m+1);
    for(int i=1;i<=n;++i) fa[i]=i;
    for(int i=1,t=n;i<=m&&n<2*t-1;++i){
        int x=find(e[i].u),y=find(e[i].v);
        if(x==y) continue;
        ++n,dis[n]=std::min(dis[x],dis[y]),anc[n][0]=val[n][0]=0;
        anc[x][0]=anc[y][0]=n,val[x][0]=val[y][0]=e[i].a;
        fa[n]=n,fa[x]=n,fa[y]=n;
    }
    for(int k=1;k<20;++k)
        for(int i=1;i<=n;++i){
            anc[i][k]=anc[anc[i][k-1]][k-1];
            val[i][k]=std::min(val[anc[i][k-1]][k-1],val[i][k-1]);
        }
}
int query(int v,int p){
    for(int k=19;k>=0;--k)
        if(val[v][k]>p) v=anc[v][k];
    return dis[v];
}

int main(){
    freopen("return.in","r",stdin),freopen("return.out","w",stdout);
    int kase=read<int>(),t;
    while(kase--){
        t=read(n),read(m); // edit 1:use n to decode
        for(int i=1;i<=n;++i) g[i].clear();
        for(int i=1,u,v,l;i<=m;++i){
            read(u),read(v),read(l);
            g[u].push_back(make_pair(v,l)),g[v].push_back(make_pair(u,l));
            e[i]=(edge){u,v,read<int>()};
        }
        dijkstra();
        kruskal();
        int Q=read<int>(),K=read<int>(),S=read<int>(),ans=0;
        for(int v,p;Q--;){
            v=(read<int>()+K*ans-1)%t+1,p=(read<ll>()+K*ans)%(S+1);
            printf("%d\n",ans=query(v,p));
        }
    }
    return 0;
}