数据结构与算法之美8 - 查找

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二分查找

15 | 二分查找（上）：如何用最省内存的方式实现快速查找功能？

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一、什么是二分查找？

二分查找针对的是一个有序的数据集合，每次通过跟区间中间的元素对比，将待查找的区间缩小为之前的一半，直到找到要查找的元素，或者区间缩小为0。

二、时间复杂度分析？

1.时间复杂度

假设数据大小是n，每次查找后数据都会缩小为原来的一半，最坏的情况下，直到查找区间被缩小为空，才停止。所以，每次查找的数据大小是：n，n/2，n/4，…，n/(2^{k)，…，这是一个等比数列。当n/(2}k)=1时，k的值就是总共缩小的次数，也是查找的总次数。而每次缩小操作只涉及两个数据的大小比较，所以，经过k次区间缩小操作，时间复杂度就是O(k)。通过n/(2^k)=1，可求得k=log2n，所以时间复杂度是O(logn)。

2.认识O(logn)

①这是一种极其高效的时间复杂度，有时甚至比O(1)的算法还要高效。为什么？

②因为logn是一个非常“恐怖“的数量级，即便n非常大，对应的logn也很小。比如n等于2的32次方，也就是42亿，而logn才32。

③由此可见，O(logn)有时就是比O(1000)，O(10000)快很多。

三、如何实现二分查找？

1.循环实现

代码实现：


def bin_search(l, n):
    # Time: O(log(n))
    left = 0
    right = len(l) - 1
    while left <= right:
        mid = left + (right - left) // 2
        # mid = left + (right - left)>>2
        if n == l[mid]:
            return mid
        elif n > l[mid]:
            left = mid + 1
        else:
            right = mid - 1

    return -1

注意事项：

①循环退出条件是：start<=end，而不是start<end。

②mid的取值，使用mid=start + (end - start) / 2，而不用mid=(start + end)/2，因为如果start和end比较大的话，求和可能会发生int类型的值超出最大范围。为了把性能优化到极致，可以将除以2转换成位运算，即start + ((end - start) >> 1)，因为相比除法运算来说，计算机处理位运算要快得多。

③start和end的更新：start = mid - 1，end = mid + 1，若直接写成start = mid，end=mid，就可能会发生死循环。

2.递归实现


def bin_search(l, n):
    return _recursion(l, 0, len(l) - 1, n)


def _recursion(l, left, right, n):
    if left > right:
        return -1

    mid = left + (right - left) >> 2

    if n == l[mid]:
        return mid
    elif n > l[mid]:
        return _recursion(l, mid+1, right, n)
    else:
        return _recursion(l, left, mid-1, n)

四、使用条件（应用场景的局限性）

1.二分查找依赖的是顺序表结构，即数组。

2.二分查找针对的是有序数据，因此只能用在插入、删除操作不频繁，一次排序多次查找的场景中。

3.数据量太小不适合二分查找，与直接遍历相比效率提升不明显。但有一个例外，就是数据之间的比较操作非常费时，比如数组中存储的都是长度超过300的字符串，那这是还是尽量减少比较操作使用二分查找吧。

4.数据量太大也不是适合用二分查找，因为数组需要连续的空间，若数据量太大，往往找不到存储如此大规模数据的连续内存空间。

五、内容小结

今天我们学习了一种针对有序数据的高效查找算法，二分查找，它的时间复杂度是 O(logn)。

二分查找的核心思想理解起来非常简单，有点类似分治思想。即每次都通过跟区间中的中间元素对比，将待查找的区间缩小为一半，直到找到要查找的元素，或者区间被缩小为 0。但是二分查找的代码实现比较容易写错。你需要着重掌握它的三个容易出错的地方：循环退出条件、mid 的取值，low 和 high 的更新。

二分查找虽然性能比较优秀，但应用场景也比较有限。底层必须依赖数组，并且还要求数据是有序的。对于较小规模的数据查找，我们直接使用顺序遍历就可以了，二分查找的优势并不明显。二分查找更适合处理静态数据，也就是没有频繁的数据插入、删除操作。

六、思考

1.如何在1000万个整数中快速查找某个整数？每个数据大小是 8 字节

①1000万个整数占用存储空间为80MB，占用空间不大，所以可以全部加载到内存中进行处理；

②用一个1000万个元素的数组存储，然后使用快排进行升序排序，时间复杂度为O(nlogn)

③在有序数组中使用二分查找算法进行查找，时间复杂度为O(logn)

2.如何编程实现“求一个数的平方根”？要求精确到小数点后6位？

3.我刚才说了，如果数据使用链表存储，二分查找的时间复杂就会变得很高，那查找的时间复杂度究竟是多少呢？如果你自己推导一下，你就会深刻地认识到，为何我们会选择用数组而不是链表来实现二分查找了。

假设链表长度为n，二分查找每次都要找到中间点(计算中忽略奇偶数差异):

第一次查找中间点，需要移动指针n/2次；

第二次，需要移动指针n/4次；

第三次需要移动指针n/8次；

…

以此类推，一直到1次为值

总共指针移动次数(查找次数) = n/2 + n/4 + n/8 + …+ 1，这显然是个等比数列，根据等比数列求和公式：Sum = n - 1.

最后算法时间复杂度是：O(n-1)，忽略常数，记为O(n)，时间复杂度和顺序查找时间复杂度相同

但是稍微思考下，在二分查找的时候，由于要进行多余的运算，严格来说，会比顺序查找时间慢

16 | 二分查找（下）：如何快速定位IP对应的省份地址？

变体一：查找第一个值等于给定值的元素


def bsearch1(l, val):
    """
    变体一：查找第一个值等于给定值的元素

    """
    left = 0
    right = len(l) - 1
    while left <= right:
        mid = left + (right - left) >> 2
        if val < l[mid]:
            right = mid - 1
        elif val > l[mid]:
            left = mid + 1
        else:
            if mid == 0 or l[mid - 1] != val:
                return mid
            else:
                right = mid -1

    return -1

变体二：查找最后一个值等于给定值的元素


def bsearch2(l, val):
    """
    变体二：查找最后一个值等于给定值的元素

    """
    left = 0
    right = len(l) - 1
    while left <= right:
        mid = left + (right - left) >> 2
        if val < l[mid]:
            right = mid - 1
        elif val > l[mid]:
            left = mid + 1
        else:
            if mid == len(l)-1 or l[mid+1] != val:
                return mid
            else:
                left = mid + 1

    return -1

变体三：查找第一个大于等于给定值的元素

比如，数组中存储的这样一个序列：3，4，6，7，10。如果查找第一个大于等于 5 的元素，那就是 6。


def bsearch3(l, val):
    """
    变体三：查找第一个大于等于给定值的元素

    """
    left = 0
    right = len(l) - 1
    while left <= right:
        mid = left + (right - left) >> 2
        if l[mid] < val:
            left = mid + 1
        else:
            if mid == 0 or l[mid-1] < val:
                return mid
            else:
                right = mid - 1

    return -1

变体四：查找最后一个小于等于给定值的元素

比如，数组中存储了这样一组数据：3，5，6，8，9，10。最后一个小于等于 7 的元素就是 6。


def bsearch4(l, val):
    """
    变体四：查找最后一个小于等于给定值的元素

    """
    left = 0
    right = len(l) - 1
    while left <= right:
        mid = left + (right - left) >> 2
        if l[mid] > val:
            right = mid - 1
        else:
            if mid == len(l)-1 or l[mid+1] > val:
                return mid
            else:
                left = mid + 1

    return -1

如何快速定位出一个 IP 地址的归属地？

现在这个问题应该很简单了。如果 IP 区间与归属地的对应关系不经常更新，我们可以先预处理这 12 万条数据，让其按照起始 IP 从小到大排序。如何来排序呢？我们知道，IP 地址可以转化为 32 位的整型数。所以，我们可以将起始地址，按照对应的整型值的大小关系，从小到大进行排序。

然后，这个问题就可以转化为我刚讲的第四种变形问题“在有序数组中，查找最后一个小于等于某个给定值的元素”了。

当我们要查询某个 IP 归属地时，我们可以先通过二分查找，找到最后一个起始 IP 小于等于这个 IP 的 IP 区间，然后，检查这个 IP 是否在这个 IP 区间内，如果在，我们就取出对应的归属地显示；如果不在，就返回未查找到。

内容小结

上一节我说过，凡是用二分查找能解决的，绝大部分我们更倾向于用散列表或者二叉查找树。即便是二分查找在内存使用上更节省，但是毕竟内存如此紧缺的情况并不多。那二分查找真的没什么用处了吗？

实际上，上一节讲的求“值等于给定值”的二分查找确实不怎么会被用到，二分查找更适合用在“近似”查找问题，在这类问题上，二分查找的优势更加明显。比如今天讲的这几种变体问题，用其他数据结构，比如散列表、二叉树，就比较难实现了。

变体的二分查找算法写起来非常烧脑，很容易因为细节处理不好而产生 Bug，这些容易出错的细节有：终止条件、区间上下界更新方法、返回值选择。所以今天的内容你最好能用自己实现一遍，对锻炼编码能力、逻辑思维、写出 Bug free 代码，会很有帮助。

思考：

我们今天讲的都是非常规的二分查找问题，今天的思考题也是一个非常规的二分查找问题。如果有序数组是一个循环有序数组，比如 4，5，6，1，2，3。针对这种情况，如何实现一个求“值等于给定值”的二分查找算法呢？

法一

找到分界下标，分成两个有序数组
判断目标值在哪个有序数据范围内，做二分查找

法二

找到最大值的下标 x;
所有元素下标 +x 偏移，超过数组范围值的取模;
利用偏移后的下标做二分查找；
如果找到目标下标，再作 -x 偏移，就是目标值实际下标。

两种情况最高时耗都在查找分界点上，所以时间复杂度是 O(N）。

复杂度有点高，能否优化呢？

法三

我们发现循环数组存在一个性质：以数组中间点为分区，会将数组分成一个有序数组和一个循环有序数组。

如果首元素小于 mid，说明前半部分是有序的，后半部分是循环有序数组；
如果首元素大于 mid，说明后半部分是有序的，前半部分是循环有序的数组；
如果目标元素在有序数组范围中，使用二分查找；
如果目标元素在循环有序数组中，设定数组边界后，使用以上方法继续查找。

时间复杂度为 O(logN)。