HDU 1573 X问题 中国剩余定理（非互质版） 数论专题第十三题

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title

HDU 1573
Problem Description

求在小于等于N的正整数中有多少个X满足：X mod a[0] = b[0], X mod a[1] = b[1], X mod a[2] = b[2], …, X mod a[i] = b[i], … (0 < a[i] <= 10)。

Input

输入数据的第一行为一个正整数T，表示有T组测试数据。每组测试数据的第一行为两个正整数N，M (0 < N <= 1000,000,000 , 0 < M <= 10)，表示X小于等于N，数组a和b中各有M个元素。接下来两行，每行各有M个正整数，分别为a和b中的元素。

Output

对应每一组输入，在独立一行中输出一个正整数，表示满足条件的X的个数。

Sample Input

3
10 3
1 2 3
0 1 2
100 7
3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 5 6 7
10000 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Sample Output

1
0
3

Author

lwg

Source

HDU 2007-1 Programming Contest

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analysis

基本套模板。当然得说下最后的答案统计，毕竟我搞半天快崩溃掉原因就是没看完题，以为就是求最小的 $x$，写完板子就什么都不管了，哎。

对于本身不合法（即 $china()$函数返回 $-1$的情况）以及算出的 $x$大于上界 $n$的情况，肯定就输出 $0$没商量了。

然后就是除了这些情况后，依然有两种情况：

• 对于我们算出的 $x$为零的情况，答案为 $(n-x)/lcm$。
• 对于我们算出的 $x$不为零的情况，答案为 $(n-x)/lcm+1$。

为什么要除以 $lcm$呢？因为这m个方程组的循环区间为 $lcm(a_{1},a_{2},a_{3}...a_{m})$，所以凡是 $lcm*i+x$的都是符合要求的数，其中 $x$最小。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=30;
template<typename T>inline void read(T &x)
{
    x=0;
    T f=1, ch=getchar();
    while (!isdigit(ch) && ch^'-') ch=getchar();
    if (ch=='-') f=-1, ch=getchar();
    while (isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48), ch=getchar();
    x*=f;
}
inline ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
    if (!b)
    {
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    ll r=exgcd(b,a%b,x,y);
    ll tmp=x;
    x=y;
    y=tmp-a/b*y;
    return r;
}
ll n,m;
ll a[maxn],b[maxn];
inline ll China()
{
    ll A=a[1],B=b[1],x,y;
    bool flag=0;
    for (ll i=2;i<=m;++i)
    {
        ll gcd=exgcd(A,a[i],x,y),c=b[i]-B;
        if (c%gcd)//相当于返回-1
        {
            flag=1;
            continue;
        }
        ll tmp=a[i]/gcd;
        x*=c/gcd;
        x=(x%tmp+tmp)%tmp;
        B+=x*A;
        A=A*a[i]/gcd;//这个真的是以前所不知道的，A到最后为lcm
        B=(B+A)%A;
    }
    if (flag || B>n)
        puts("0");
    else if (!B)
        printf("%lld\n",(n-B)/A);
    else
        printf("%lld\n",(n-B)/A+1);
}
int main()
{
    ll t;read(t);
    while (t--)
    {
        read(n);read(m);
        for (int i=1; i<=m; ++i)
            read(a[i]);
        for (int i=1; i<=m; ++i)
            read(b[i]);
        China();
    }
    return 0;
}