Day2 下午 数论知识整理

1.欧拉定理

设x1,x2,.....,x_k,k=φ(n)为1~n中k个与n互质的数

结论一：ax_i与ax_j不同余

结论二：gcd(ax_i,n)=1

结论三：x1,x2,...,x_k和ax1,ax2,...,ax_k一一对应

结论四：a^φ(n)≡1(mod n)

计算：φ(m)=m*(1-1/p1)*......*(1-1/p_i)

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请证明:如果n为素数，取a<n，设n-1=d*2^r,则要么a^d≡1（mod n）要么存在0<=i<r,使得a^{d*2^t}≡-1(mod n)，要么存在0<=i<r，使得a^{d*2^t}≡-1(mod n)

证：由费马小定理得a^n-1≡1(mod n),已知n-1=d*2^r

∴a^{d*2^r}≡1(mod n)

∴a^{d*2^r}-1≡0(mod n)

由平方差公式知：(a^{d*2^(r-1)})(a^{d*2^(r-1)})≡0(mod n)

∴原式=(a^d-1)(a^d+1)(a^d*2+1)(a^{d*2^2}).......(a^{d*2^(r-1)}+1≡0(mod n)

2.线性求逆元

求1~n所有数 对p的逆元（p为质数）

为了减少时间，我们要尽量利用已经求出来的逆元进行计算，也就是说，当求i的逆元时，1~i-1的逆元已经求完了

设1<=i<=n

∵p/i=k......r

∴p=ik+r

ik+r≡0 (mod p)

kr^-1+i^-1≡0 (mod p)

i^-1≡-kr^-1 (mod p)

 

最后一步把k和r带进去就可以得到

 卡n log n的复杂度用到

3.BSGS算法（baby-step  gaint-step）

问题：求a^x≡b (mod m)的最小正整数解

如果枚举：复杂度为O(m)

考虑分块

能否从其中某一行找到答案
从第二行找答案等价于第一行里面是否存在

从第三行找答案等价于第二行里面是否存在

先暴力出第一行，再排序二分，这样求每一行都可以化成第一行

 

i-1行*size个数+1

4.数论函数

喂正整数吐整数

积性函数

积性函数：当gcd(a,b)=1时，ƒ(ab)=ƒ(a)ƒ(b)

完全积性函数：ƒ(ab)=f(a)f(b)

积性函数包括：

不变函数：ƒ(n)=n

欧拉函数：ƒ(n)=φ(n)

莫比乌斯函数：ƒ(n)=μ(n)

因子数目总数：ƒ(n)=d(n)

因子之和函数：ƒ(n)=σ(n)

如μ(4)=0
μ(15)=1
μ(1001)=-1

φ和μ的实现：考虑线性筛，降低复杂度