一、有Dijkstra算法求最短路径了，为什么还要用Bellman-Ford算法
Dijkstra算法不适合用于带有负权值的有向图。
如下图：
用Dijkstra算法求顶点0到各个顶点的最短路径：
（1）首先,把顶点0添加到已访问顶点集合S中，选取权值最小的邻边<0, 2>，权值为5
记录顶点2的最短路径为：dist[2]=5, path[2]=0,把顶点2添加到集合S中。
顶点2，没有邻边(从顶点2出发，其他顶点为终点的边)，结束；
（2）访问<0, 1>边，权值为7，把顶点7添加到顶点集合S中，dist[1]=7, path[1]=0。
虽然，顶点1有邻边<1,2>，但是因为顶点2已在集合S中，所以，不继续修改，结束程序。
所以，最终dist[1]=7,dist[2]=5。显然结果不对，顶点2的最短路径应为：0->1->2，权值为7+（-5）=2
二、Bellman-Ford算法思路：
Bellman-Ford算法，效率低，但是适合用于求带有负权值的单源最短路径。
不考虑有回路的，如下图，顶点0到顶点1的最短路径可以无穷小
下面开始简单描述Bellman-Ford的思路：
可以，看到：通过绕过一些顶点，可以取得更短的路径长度
当k=1时，即从源点（顶点0）到其他顶点，只需要一条边。有<0,1>、<0,2>、<0,3>，所以有：dist[1]=6，dist[2]=5，dist[3]=5；
当k=2时，需要2条边的，u=1，有0->2->3，长度为：5+（-2）=3， 更短，所以要修改dist[1]=3;
u=2,有：0->3->2，长度为：5+(-2)=3,更短，所以要修改dist[2]=3;
u=3，没有两条边从顶点0到达顶点3的路径；
u=4，有0->1->4，长度为：6+（-1）=5， 更短，所以要修改dist[4]=5;
u=5，有0->3->5，长度为：5+（-1）=4，更短，所以要修改dist[5]=4;
u=6，没有2条边就可以从顶点0到顶点6的路径。
重复上面步骤，直到k=n-1结束程序。
三、实现程序：
1.Graph.h：有向图
#ifndef Graph_h
#define Graph_h
#include <iostream>
using namespace std;
const int DefaultVertices = 30;
template <class T, class E>
struct Edge { // 边结点的定义
int dest; // 边的另一顶点位置
E cost; // 表上的权值
Edge<T, E> *link; // 下一条边链指针
};
template <class T, class E>
struct Vertex { // 顶点的定义
T data; // 顶点的名字
Edge<T, E> *adj; // 边链表的头指针
};
template <class T, class E>
class Graphlnk {
public:
const E maxValue = 100000; // 代表无穷大的值（=∞）
Graphlnk(int sz=DefaultVertices); // 构造函数
~Graphlnk(); // 析构函数
void inputGraph(); // 建立邻接表表示的图
void outputGraph(); // 输出图中的所有顶点和边信息
T getValue(int i); // 取位置为i的顶点中的值
E getWeight(int v1, int v2); // 返回边（v1， v2）上的权值
bool insertVertex(const T& vertex); // 插入顶点
bool insertEdge(int v1, int v2, E weight); // 插入边
bool removeVertex(int v); // 删除顶点
bool removeEdge(int v1, int v2); // 删除边
int getFirstNeighbor(int v); // 取顶点v的第一个邻接顶点
int getNextNeighbor(int v,int w); // 取顶点v的邻接顶点w的下一邻接顶点
int getVertexPos(const T vertex); // 给出顶点vertex在图中的位置
int numberOfVertices(); // 当前顶点数
private:
int maxVertices; // 图中最大的顶点数
int numEdges; // 当前边数
int numVertices; // 当前顶点数
Vertex<T, E> * nodeTable; // 顶点表(各边链表的头结点)
};
// 构造函数:建立一个空的邻接表
template <class T, class E>
Graphlnk<T, E>::Graphlnk(int sz) {
maxVertices = sz;
numVertices = 0;
numEdges = 0;
nodeTable = new Vertex<T, E>[maxVertices]; // 创建顶点表数组
if(nodeTable == NULL) {
cerr << "存储空间分配错误！" << endl;
exit(1);
}
for(int i = 0; i < maxVertices; i++)
nodeTable[i].adj = NULL;
}
// 析构函数
template <class T, class E>
Graphlnk<T, E>::~Graphlnk() {
// 删除各边链表中的结点
for(int i = 0; i < numVertices; i++) {
Edge<T, E> *p = nodeTable[i].adj; // 找到其对应链表的首结点
while(p != NULL) { // 不断地删除第一个结点
nodeTable[i].adj = p->link;
delete p;
p = nodeTable[i].adj;
}
}
delete []nodeTable; // 删除顶点表数组
}
// 建立邻接表表示的图
template <class T, class E>
void Graphlnk<T, E>::inputGraph() {
int n, m; // 存储顶点树和边数
int i, j, k;
T e1, e2; // 顶点
E weight; // 边的权值
cout << "请输入顶点数和边数：" << endl;
cin >> n >> m;
cout << "请输入各顶点：" << endl;
for(i = 0; i < n; i++) {
cin >> e1;
insertVertex(e1); // 插入顶点
}
cout << "请输入图的各边的信息：" << endl;
i = 0;
while(i < m) {
cin >> e1 >> e2 >> weight;
j = getVertexPos(e1);
k = getVertexPos(e2);
if(j == -1 || k == -1)
cout << "边两端点信息有误，请重新输入！" << endl;
else {
insertEdge(j, k, weight); // 插入边
i++;
}
} // while
}
// 输出有向图中的所有顶点和边信息
template <class T, class E>
void Graphlnk<T, E>::outputGraph() {
int n, m, i;
T e1, e2; // 顶点
E weight; // 权值
Edge<T, E> *p;
n = numVertices;
m = numEdges;
cout << "图中的顶点数为" << n << ",边数为" << m << endl;
for(i = 0; i < n; i++) {
p = nodeTable[i].adj;
while(p != NULL) {
e1 = getValue(i); // 有向边<i, p->dest>
e2 = getValue(p->dest);
weight = p->cost;
cout << "<" << e1 << ", " << e2 << ", " << weight << ">" << endl;
p = p->link; // 指向下一个邻接顶点
}
}
}
// 取位置为i的顶点中的值
template <class T, class E>
T Graphlnk<T, E>::getValue(int i) {
if(i >= 0 && i < numVertices)
return nodeTable[i].data;
return NULL;
}
// 返回边（v1， v2）上的权值
template <class T, class E>
E Graphlnk<T, E>::getWeight(int v1, int v2) {
if(v1 != -1 && v2 != -1) {
if(v1 == v2) // 说明是同一顶点
return 0;
Edge<T , E> *p = nodeTable[v1].adj; // v1的第一条关联的边
while(p != NULL && p->dest != v2) { // 寻找邻接顶点v2
p = p->link;
}
if(p != NULL)
return p->cost;
}
return maxValue; // 边(v1, v2)不存在,就存放无穷大的值
}
// 插入顶点
template <class T, class E>
bool Graphlnk<T, E>::insertVertex(const T& vertex) {
if(numVertices == maxVertices) // 顶点表满，不能插入
return false;
nodeTable[numVertices].data = vertex; // 插入在表的最后
numVertices++;
return true;
}
// 插入边
template <class T, class E>
bool Graphlnk<T, E>::insertEdge(int v1, int v2, E weight) {
if(v1 == v2) // 同一顶点不插入
return false;
if(v1 >= 0 && v1 < numVertices && v2 >= 0 && v2 < numVertices) {
Edge<T, E> *p = nodeTable[v1].adj; // v1对应的边链表头指针
while(p != NULL && p->dest != v2) // 寻找邻接顶点v2
p = p->link;
if(p != NULL) // 已存在该边，不插入
return false;
p = new Edge<T, E>; // 创建新结点
p->dest = v2;
p->cost = weight;
p->link = nodeTable[v1].adj; // 链入v1边链表
nodeTable[v1].adj = p;
numEdges++;
return true;
}
return false;
}
// 有向图删除顶点较麻烦
template <class T, class E>
bool Graphlnk<T, E>::removeVertex(int v) {
if(numVertices == 1 || v < 0 || v > numVertices)
return false; // 表空或顶点号超出范围
Edge<T, E> *p, *s;
// 1.清除顶点v的边链表结点w 边<v,w>
while(nodeTable[v].adj != NULL) {
p = nodeTable[v].adj;
nodeTable[v].adj = p->link;
delete p;
numEdges--; // 与顶点v相关联的边数减1
} // while结束
// 2.清除<w, v>，与v有关的边
for(int i = 0; i < numVertices; i++) {
if(i != v) { // 不是当前顶点v
s = NULL;
p = nodeTable[i].adj;
while(p != NULL && p->dest != v) {// 在顶点i的链表中找v的顶点
s = p;
p = p->link; // 往后找
}
if(p != NULL) { // 找到了v的结点
if(s == NULL) { // 说明p是nodeTable[i].adj
nodeTable[i].adj = p->link;
} else {
s->link = p->link; // 保存p的下一个顶点信息
}
delete p; // 删除结点p
numEdges--; // 与顶点v相关联的边数减1
}
}
}
numVertices--; // 图的顶点个数减1
nodeTable[v].data = nodeTable[numVertices].data; // 填补,此时numVertices，比原来numVertices小1，所以，这里不需要numVertices-1
nodeTable[v].adj = nodeTable[numVertices].adj;
// 3.要将填补的顶点对应的位置改写
for(int i = 0; i < numVertices; i++) {
p = nodeTable[i].adj;
while(p != NULL && p->dest != numVertices) // 在顶点i的链表中找numVertices的顶点
p = p->link; // 往后找
if(p != NULL) // 找到了numVertices的结点
p->dest = v; // 将邻接顶点numVertices改成v
}
return true;
}
// 删除边
template <class T, class E>
bool Graphlnk<T, E>::removeEdge(int v1, int v2) {
if(v1 != -1 && v2 != -1) {
Edge<T, E> * p = nodeTable[v1].adj, *q = NULL;
while(p != NULL && p->dest != v2) { // v1对应边链表中找被删除边
q = p;
p = p->link;
}
if(p != NULL) { // 找到被删除边结点
if(q == NULL) // 删除的结点是边链表的首结点
nodeTable[v1].adj = p->link;
else
q->link = p->link; // 不是，重新链接
delete p;
return true;
}
}
return false; // 没有找到结点
}
// 取顶点v的第一个邻接顶点
template <class T, class E>
int Graphlnk<T, E>::getFirstNeighbor(int v) {
if(v != -1) {
Edge<T, E> *p = nodeTable[v].adj; // 对应链表第一个边结点
if(p != NULL) // 存在，返回第一个邻接顶点
return p->dest;
}
return -1; // 第一个邻接顶点不存在
}
// 取顶点v的邻接顶点w的下一邻接顶点
template <class T, class E>
int Graphlnk<T, E>::getNextNeighbor(int v,int w) {
if(v != -1) {
Edge<T, E> *p = nodeTable[v].adj; // 对应链表第一个边结点
while(p != NULL && p->dest != w) // 寻找邻接顶点w
p = p->link;
if(p != NULL && p->link != NULL)
return p->link->dest; // 返回下一个邻接顶点
}
return -1; // 下一个邻接顶点不存在
}
// 给出顶点vertex在图中的位置
template <class T, class E>
int Graphlnk<T, E>::getVertexPos(const T vertex) {
for(int i = 0; i < numVertices; i++)
if(nodeTable[i].data == vertex)
return i;
return -1;
}
// 当前顶点数
template <class T, class E>
int Graphlnk<T, E>::numberOfVertices() {
return numVertices;
}
#endif /* Graph_h */2.Bellman-Ford.h
#ifndef Bellman_Ford_h
#define Bellman_Ford_h
#include "Graph.h"
// Bellman-Ford算法
template<class T, class E>
void BellmanFord(Graphlnk<T, E> &G, int v, E dist[], int path[]) {
int i, k, u, n = G.numberOfVertices();
E w;
// 1.初始化，将顶点v作为u顶点（存在<v, u>有向边）的上一个顶点，记录路径
for(i = 0; i < n; i++) {
dist[i] = G.getWeight(v, i);
if(i != v && dist[i] < G.maxValue)
path[i] = v;
else
path[i] = -1;
}
// 2.迭代求解：反复对边集E中的每条边进行松弛操作，使得顶点集V中的每个顶点的最短距离估计值逐步逼近其最短距离；（运行n-1次,因为上面算是1次:k=1，所以，k从2开始）
bool isFlag; // 监视该轮dist数组是否有变化
for(k = 2; k < n; k++) {
isFlag = false;
for(u = 0; u < n; u++) { // 遍历顶点，找不是v的顶点
if(u != v) {
for(i = 0; i < n; i++) {
w = G.getWeight(i, u);
if(w != 0 && w < G.maxValue && dist[u] > dist[i] + w) {
// 存在<i, u>边，并且绕过i,使得路径更短，就修改u顶点的最短路径
// w可能是负权值，如果i和u是同一顶点，则w是0，排除同一顶点的情况
// 也可以不写w!=0，因为同一顶点，w=0,dist[u]==dist[i]+w会不满足
// dist[u] > dist[i] + w这个条件
dist[u] = dist[i] + w;
path[u] = i; // 记忆路径
isFlag = true;
}
} // 第3重循环
}
} // 第2重循环
if(isFlag == false) // 如果dist数组没有变化，说明各个顶点已求得最短路径
break;
} // 第1重for循环
}
// 从path数组读取最短路径的算法
template <class T, class E>
void printShortestPath(Graphlnk<T, E> &G, int v, E dist[], int path[]) {
int i, j, k, n = G.numberOfVertices();
int *d = new int[n];
cout << "从顶点" << G.getValue(v) << "到其他各顶点的最短路径为：" << endl;
for(i = 0; i < n; i++) {
if(i != v) { // 如果不是顶点v
j = i;
k = 0;
while(j != v) {
d[k++] = j;
j = path[j];
}
cout << "顶点" << G.getValue(i) << "的最短路径为：" << G.getValue(v);
while(k > 0)
cout << "->" << G.getValue(d[--k]);
cout << "，最短路径长度为：" << dist[i] << endl;
}
}
}
#endif /* Bellman_Ford_h */3.main.cpp
/*
测试数据：
7 10
0 1 2 3 4 5 6
0 1 6
0 2 5
0 3 5
1 4 -1
2 1 -2
2 4 1
3 2 -2
3 5 -1
4 6 3
5 6 3
*/
#include "Bellman-Ford.h"
const int maxSize = 40;
int main(int argc, const char * argv[]) {
Graphlnk<char, int> G; // 声明图对象
int dist[maxSize], path[maxSize], v;
char u0;
// 创建图
G.inputGraph();
cout << "图的信息如下：" << endl;
G.outputGraph();
cout << "请输入起始顶点u0:" << endl;
cin >> u0;
v = G.getVertexPos(u0); // 取得起始顶点的位置
// 我把dist数组放到有向图头文件中，方便建立有向图时，同时初始化dist数组
BellmanFord(G, v, dist, path); // 调用BellmanFord函数
printShortestPath(G, v, dist, path); // 输出到各个顶点的最短路径
return 0;
}
测试结果：
