宽带信号的DOA估计学习笔记（三):宽带信号阵列接收模型

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在宽带阵列信号处理中，阵列接收到的信号包络不再恒定，相位延迟和时延不再是简单的线性关系。

宽带时域模型

$M$个阵元组成的阵列，接收空间中 $P$个宽带信号，入射角度分别为 $\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_P$，则第 $k$个阵元接收到的信号可表示为 $x_k(t)=\sum_{i=1}^P s_i[t+\tau_k(\theta_i)]+n_k(t)$

宽带频域模型

傅里叶变换的时延定理：信号时延后的傅里叶变换等于信号傅里叶变换的相位延迟
如果 $s(t)$ 的傅里叶变换为 $s(f)$，即
$FT[s(t)]=s(f)$
那么 $FT[s(t+\tau)]=s(f)e^{j2\pi\tau}$

把第k个阵元接收到的信号，两边做傅里叶变换得到
$x_k(f)=\sum_{i=1}^P {s_i(f)}e^{j2\pi f\tau_k(\theta_i)}+n_k(f)$
写成矩阵形式
$\mathbf{X}_f=\mathbf{A}(f,\theta)\mathbf{S}(f)+\mathbf{N}(f)$

其中方向矩阵为
$\mathbf{A}(f,\mathbf{\theta})= \left[ \begin{matrix} e^{j2\pi f\tau_1(\theta_1)} & e^{j2\pi f\tau_1(\theta_2)} &\cdots &e^{j2\pi f\tau_1(\theta_P)} \\e^{j2\pi f\tau_2(\theta_1)} & e^{j2\pi f\tau_2(\theta_2)} &\cdots &e^{j2\pi f\tau_2(\theta_P)} \\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\e^{j2\pi f\tau_M(\theta_1)} & e^{j2\pi f\tau_M(\theta_2)} &\cdots &e^{j2\pi f\tau_M(\theta_P)} \end{matrix} \right]$

与窄带信号的方向矩阵不同的是，窄带模型中的频率为固定的单值，这里的频率为信号的整个频带。

当对数字信号进行 $J$点离散傅里叶变换时，频率点也为 $J$个离散点，那么
$\mathbf{X}{(f_j)}=\mathbf{A}{(f_j,\mathbf{\theta})} \mathbf{S}{(f_j)}+\mathbf{N}{(f_j)}(j=0,1,\cdots,J)$
其中，方向矩阵为
$\begin{aligned} \mathbf{A}(f_j,\mathbf{\theta})&= \left[ \begin{matrix} e^{j2\pi f_j\tau_1(\theta_1)} & e^{j2\pi f_j\tau_1(\theta_2)} &\cdots &e^{j2\pi f_j\tau_1(\theta_P)} \\e^{j2\pi f_j\tau_2(\theta_1)} & e^{j2\pi f_j\tau_2(\theta_2)} &\cdots &e^{j2\pi f_j\tau_2(\theta_P)} \\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\e^{j2\pi f_j\tau_M(\theta_1)} & e^{j2\pi f_j\tau_M(\theta_2)} &\cdots &e^{j2\pi f_j\tau_M(\theta_P)} \end{matrix} \right]\\ &=[\mathbf{a}(\theta_1,f_j)\qquad \mathbf{a}(\theta_2,f_j)\qquad \cdots \qquad \mathbf{a}(\theta_P,f_j)](j=0,1,2,\cdots,J) \end{aligned}$

如果再将观察时间 $T_0$内的阵列接收数据分为 $L$个子段，每段时间为 $T_d$，然后对观察数据进行 $J$点离散傅里叶变换，只要子段 $T_d$ 相比噪声的相关时间较长（保证DFT后的数据不相关），宽带模型就变为
$\mathbf{X}_l(f_j)=\mathbf{A}(f_j,\theta)\mathbf{S}_l(f_j)+\mathbf{N}_l(f_j)$

其中， $J$是指将带宽 $B$的宽带信号划分为 $J$个子带的个数，对于子带对应的不同频率点 $f_1,f_2,\cdots,f_J$，均成立。