宽带信号阵列

0. 前言

阵列信号处理基础本质上属于参数估计问题，和信道估计知识基本上别无二致。末学在这里整理了阵列信号处理的基础知识，包括公式推导，以及代码。一方面为了节省同行人士寻找资料和整理吸收的时间，开方便之门。另一方面为了和大家多多交流这方面的知识，寻找研究灵感。

如果有任何问题或者有相关的 MATLAB 代码，本着交流的态度请分享到我的邮箱：[email protected]。

愿以此功德，庄严佛净土。上报四重恩，下济三途苦。
若有见闻者，悉发菩提心。尽此一报身，同生极乐国。
南无大智文殊菩萨。

4. 宽带信号阵列模型1

因为窄带信号的时延信息可以通过相位的变化来体现，而宽带信号则不满足这一假设，所以上面提到的MUSIC/ESPRIT 等算法不适用于宽带信号。现在比较经典的宽带 DOA 估计算法是 ISS 算法和 CSS 算法。

在有 $M$ 个天线单元的均匀线阵中，第 $m$ 个阵元接收到的信号可以写为

x_{m} (t) = \sum_{i = 1}^{K} s_{i} (t - τ_{m} (θ_{i})) + n_{m} (t), m = 1, 2 \dots, M

$x_m(t) = \sum_{i=1}^{K} s_i(t-\tau_m(\theta_i))+n_m(t),\quad m=1,2\cdots,M$
其中，

s_{i} (t)

$s_i(t)$ 为第

i

$i$ 个信源，

τ_{m} (θ_{i})

$\tau_m(\theta_i)$ 为其相对于参考点的时延，

θ_{i}

$\theta_i$ 为其入射角度，

K

$K$ 为信源数目，

n_{m} (t)

$n_m(t)$ 为高斯白噪声。 因为宽带信号的时延无法用相移来表示，所以需要转换到频域上，表示为

X_{m} (f) = \sum_{i = 1}^{K} S_{i} (f) e^{- j 2 π f τ_{m} (θ_{i})} + N_{m} (f)

$X_m(f) = \sum_{i=1}^{K} S_i(f)e^{-j2\pi f\tau_m(\theta_i)}+N_m(f)$
其中

S_{i} (f)

$S_i(f)$ 和

N_{m} (f)

$N_m(f)$ 分别为

s_{i} (t)

$s_i(t)$ 和

n_{m} (t)

$n_m(t)$ 傅里叶变换。我们可以将阵列接收信号的频域模型写成矩阵的形式，令

e^{- j 2 π f τ_{m} (θ_{i})} = a_{m} (f, θ_{i})

$e^{-j2\pi f\tau_m(\theta_i)} = a_m(f,\theta_i)$ ，可得

X (f) = A (f, θ) S (f) + N (f)

$X(f) = A(f,\theta)S(f)+N(f)$
其中有

\begin{aligned} A (f) & = [a (f, θ_{1}), a (f, θ_{2}), \dots, a (f, θ_{K})] \\ a (f, θ_{i}) & = [a_{1} (f, θ_{i}), a_{2} (f, θ_{i}), \dots, a_{M} (f, θ_{i})]^{T} \end{aligned}

$\begin{align*} A(f) &= [a(f,\theta_1),a(f,\theta_2),\cdots,a(f,\theta_K)] \\ a(f,\theta_i) &= [a_1(f,\theta_i),a_2(f,\theta_i),\cdots,a_M(f,\theta_i)]^T \end{align*}$

4.1 非相干信号子空间算法

ISM 算法的核心思想是把一个宽带信号通过 FFT 在频域分解成若干个窄带分量，然后在每一个子带上直接应用窄带 DOA 估计技术进行处理，最后对这若干个结果进行综合，比如所有子带的空间谱进行平均，即可得到最终的 DOA 信息。

根据这个思想，首先把观测时间 $T_0$ 内的接收信号分成 $L$ 段， $L$ 也称为频域快拍。再对每段作 DFT 分解为 $N$ 个窄带分量，即得到 $L$ 组互不相关的窄带频域分量，因此可得接收信号频域自相关矩阵的估计值

R_{x} (f_{n}) = \frac{1}{L} \sum_{l = 1}^{L} X_{l} (f_{n}) X_{l}^{H} (f_{n}), 1 \leq n \leq N

$R_x(f_n) = \frac{1}{L} \sum_{l=1}^{L}X_l(f_n)X_l^H(f_n),\quad 1 \leq n \leq N$
其中

X_{l} (f_{n}) = A (f_{n}, θ) S (f_{n}) + N (f_{n}) \in C^{M \times 1}

$X_l(f_n) = A(f_n,\theta)S(f_n)+N(f_n) \in \mathbb{C}^{M\times 1}$ 。对其进行特征值分解，可以得到

R_{x} (f_{n}) = U Λ U^{H} = \sum_{i = 1}^{M} λ_{i} u_{i} u_{i}^{H}

$R_x(f_n) = U\Lambda U^H = \sum_{i=1}^{M}\lambda_i u_i u_i^H$
特征值的大小满足关系

λ_{1} ⩾ λ_{2} ⩾ \dots ⩾ λ_{K} > λ_{K + 1} = \dots = λ_{M} = σ^{2}

$\lambda_{1} \geqslant \lambda_{2} \geqslant \cdots \geqslant \lambda_{K} > \lambda_{K+1}= \cdots = \lambda_{M}=\sigma^{2}$ 。于是，我们可以构造出两个矩阵，

U_{S}

$U_S$ 称为信号子空间，

U_{N}

$U_N$ 称为噪声子空间。根据 MUSIC 算法，那么平均谱函数为

P (θ) = \frac{1}{\frac{1}{N} \sum_{n = 1}^{N} ‖ a^{H} (f_{n}, θ) U_{N} (f_{n}) ‖^{2}}

$P(\theta) = \frac{1}{\frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N} \Vert\mathbf a^{H}(f_n,\theta) \mathbf{U}_{N}(f_n)\Vert^2}$

4.2 相干信号子空间算法

因为宽带信号的分解得到的子空间与频率有关，使得不同频点上的子空间会不一样，所以 CSM 算法就是要构造一个聚焦矩阵，通过它把不同频点的子空间变换到相同的频点上。同样我们首先需要对阵列接收信号进行 $N$ 点 FFT 分解成 $N$ 个窄带分量，那么聚焦矩阵 $T(f_n)$ 需要满足

T (f_{n}) A (f_{n}) = A (f_{0}), n = 1, 2, \dots, N

$T(f_n)A(f_n) = A(f_0),\quad n=1,2,\cdots,N$
其中，

f_{0}

$f_0$ 为参考频点。于是经过聚焦变换后的阵列接收信号为

\begin{aligned} Y (f_{n}) & = T (f_{n}) X (f_{n}) \\ = T (f_{n}) A (f_{n}) S (f_{n}) + T (f_{n}) N (f_{n}) \\ = A (f_{0}) S (f_{n}) + T (f_{n}) N (f_{n}) \end{aligned}

$\begin{align*} Y(f_n) &= T(f_n)X(f_n) \\ &= T(f_n)A(f_n)S(f_n)+T(f_n)N(f_n) \\ &= A(f_0)S(f_n)+T(f_n)N(f_n) \\ \end{align*}$
可知，经过变换后的

Y (f_{n})

$Y(f_n)$ 在任何频点上都有着相同的方向矩阵。于是，我们可以计算出

Y (f_{n})

$Y(f_n)$ 的自相关矩阵：

\begin{aligned} R_{y} & = \frac{1}{N} \sum_{n = 1}^{N} Y (f_{n}) Y^{H} (f_{n}) \\ = \frac{1}{N} \sum_{n = 1}^{N} T (f_{n}) X (f_{n}) X^{H} (f_{n}) T^{H} (f_{n}) \\ = \frac{1}{N} \sum_{n = 1}^{N} A (f_{0}) S (f_{n}) S^{H} (f_{n}) A^{H} (f_{0}) + \frac{1}{N} \sum_{n = 1}^{N} T (f_{n}) N (f_{n}) N^{H} (f_{n}) T^{H} (f_{n}) \\ = A (f_{0}) [\frac{1}{N} \sum_{n = 1}^{N} S (f_{n}) S^{H} (f_{n})] A^{H} (f_{0}) + \frac{1}{N} [\sum_{n = 1}^{N} T (f_{n}) N (f_{n}) N^{H} (f_{n}) T^{H} (f_{n})] \\ = A (f_{0}) [\frac{1}{N} R_{S}] A^{H} (f_{0}) + \frac{1}{N} [R_{N}] \end{aligned}

$\begin{align*} R_y &= \frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N} Y(f_n)Y^H(f_n) \\ &= \frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N} T(f_n)X(f_n)X^H(f_n)T^H(f_n) \\ &= \frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}A(f_0)S(f_n)S^H(f_n)A^H(f_0)+ \frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N} T(f_n)N(f_n)N^H(f_n)T^H(f_n) \\ &= A(f_0) \left[ \frac{1}{N} \color{#00F}{\sum_{n=1}^{N}S(f_n)S^H(f_n)} \right]A^H(f_0)+ \frac{1}{N} \left[\color{#00F}{\sum_{n=1}^{N} T(f_n) N(f_n)N^H(f_n) T^H(f_n)}\right] \\ &= A(f_0) \left[\frac{1}{N} \color{#00F}{R_S} \right]A^H(f_0)+ \frac{1}{N} \left[\color{#00F}{R_N} \right] \end{align*}$
同样地，我们对构造的矩阵束

{R_{y}, R_{N}}

$\{ R_y,R_N \}$ 进行广义特征值分解，从而构造出信号子空间

U_{S}

$U_S$ 以及噪声子空间

U_{N}

$U_N$ 。此时可得谱函数

P (θ) = \frac{1}{‖ a^{H} (f_{0}, θ) U_{N} ‖^{2}}

$P(\theta) = \frac{1}{\Vert\mathbf a^{H}(f_0,\theta) \mathbf{U}_{N}\Vert^2}$
接下来给出一种聚焦矩阵的构造方法。首先对所有信源的 DOA 进行预估计，计算出它们的平均值

\hat{θ}

$\hat{\theta}$ ，那么聚焦矩阵为

T = (\begin{matrix} a_{1} (f_{0}, \hat{θ}) / a_{1} (f_{n}, \hat{θ}) \\ ⋱ \\ a_{M} (f_{0}, \hat{θ}) / a_{M} (f_{n}, \hat{θ}) \end{matrix})

$T = \begin{pmatrix} a_1(f_0,\hat\theta)/a_1(f_n,\hat\theta) & &\\ & \ddots &\\ & & a_M(f_0,\hat\theta)/a_M(f_n,\hat\theta) \end{pmatrix}$

参考文献

毫米波低复杂度 DOA 估计与波束成形技术的研究 ↩

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