【组合数学】排列组合与各种计数数列

typedef int arr[maxn][maxn];

排列组合

排列与组合

从 $n$ 个不同的元素中，取 $m$ 个不重复的元素，按次序排列，称为从 $n$ 个中取 $m$ 个的排列。
$A_n^m=\frac{n!}{(n-m)!}$

从 $n$ 个不同的元素中，取 $m$ 个不重复的元素，不考虑次序，称为从 $n$ 个中取 $m$ 个的组合。
$C_n^m=\frac{n!}{(n-m)!(m!)}$

组合数的性质：
$\begin{aligned} C_n^m&=C_n^{n-m}\\ \sum_{i=0}^nC_n^i&=2^n\\ C_n^m&=C_{n-1}^m+C_{n-1}^{m-1} \end{aligned}$

解读：

性质1：从 $n$ 个数中选 $m$ 个数，等价于选出另外 $n-m$ 个数，这样这 $m$ 个数随之确定。
性质2：可以由二项式定理得到。
性质3：运用递推思想，讨论是否选第 $n$ 个数，若选则在前 $n-1$ 个数中选 $m-1$ 个数，否则在前 $n-1$ 个数中选 $m$ 个数。

根据 $C_n^m=C_{n-1}^m+C_{n-1}^{m-1}$ 递推求组合数：

void make_C(arr C,int n){
  for(int i=0;i<=n;i++)C[i][0]=1;
  for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=i;j++)
    C[i][j]=C[i-1][j]+C[i-1][j-1];
}

根据定义式推出 $C_n^i=C_n^{i-1}\frac{n-i+1}i$ 求出某一行组合数：

void make_Cn(int*C,int n){
  C[0]=1;
  for(int i=1;i<=n;i++)C[i]=C[i-1]*(n-i+1)/i;
}

二项式定理

$(x+y)^n=\sum_{k=0}^nC_n^kx^{n-k}y^k$

真のLucas定理

求 $C_n^m\mod p$ 的值（ $p$ 为质数）。
$C_n^m\equiv C_{n\mod p}^{m\mod p}C_{\lfloor\frac np\rfloor}^{\lfloor\frac mp\rfloor}\pmod p$

不想证明。
时间复杂度： $O(p\log_pm)$

int C(int a,int b,int p){
  if(a<b)return 0;
  if(a==b)return 1;
  if(b>a-b)b=a-b;
  int A=1,B=1;
  for(int i=0;i<b;i++)A=A*(a-i)%p,B=B*(b-i)%p;
  return A*Pow(B,p-2,p)%p;
}
int Lucas(int n,int m,int p){
  return m?C(n%p,m%p,p)*Lucas(n/p,m/p,p)%p:1;
}

扩展Lucas定理

求 $C_n^m\mod p$ 的值（ $p$ 不一定为质数）。
首先将 $p$ 分解质因数： $p=p_1^{k_1}p_2^{k_2}p_3^{k_3}\dots p_q^{k_q}$
然后得出一个同余方程组，用中国剩余定理求解。
$\begin{cases} x&\equiv C_n^m\mod p_1^{k_1}\pmod{p_1^{k_1}}\\ x&\equiv C_n^m\mod p_2^{k_2}\pmod{p_2^{k_2}}\\ &\vdots\\ x&\equiv C_n^m\mod p_q^{k_q}\pmod{p_q^{k_q}} \end{cases}$

$p_q^{k_q}$ 太大时，用Lucas算 $C_n^m\mod p_q^{k_q}$ 会超时。怎么办？待补充。

Stirling数

第二类Stirling数表示把 $n$ 个元素划分成 $m$ 个非空集合的方案数。
$S_n^m=S_{n-1}^{m-1}+mS_{n-1}^m$

**递推过程：**若前 $n-1$ 个元素已经分成了 $m-1$ 个集合，则第 $n$ 个元素自成一个集合，否则把第 $n$ 个元素放入 $m$ 个集合中的任意一个集合中。

void make_s2(arr s2,int n){
  for(int i=1;i<=n;i++)s2[i][1]=1;
  for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=2;j<=i;j++)
    s2[i][j]=s2[i-1][j-1]+j*s2[i-1][j];
}

第一类Stirling数表示把 $n$ 个元素划分成 $m$ 个非空循环排列集合的方案数。
$s_n^m=s_{n-1}^{m-1}+(n-1)s_{n-1}^m$

**递推过程：**若前 $n-1$ 个元素已经分成了 $m-1$ 个集合，则第 $n$ 个元素自成一个集合，否则把第 $n$ 个元素放入前 $n-1$ 个元素中任意一个元素的左边。

void make_s1(arr s1,int n){
  for(int i=1;i<=n;i++)s1[i][i]=1;
  for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=i;j++)
    s1[i][j]=s1[i-1][j-1]+(i-1)*s1[i-1][j];
}

Bell数

Bell数表示把 $n$ 个元素划分成若干个非空集合的方案数。
$B_n=\sum_{k=1}^nS_n^k$

Catalan数

$C_n=\begin{cases} 1&n=1\\ \frac{4n-2}{n+1}C_{n-1}&\text{otherwise} \end{cases}$
$C_n=\frac{C_{2n}^n}{n+1}=C_{2n}^n-C_{2n}^{n-1}$

问题描述：

$n$ 对括号有多少种有效配对方式？
$P=A_1\times{A_2}\times{A_3}\times...\times{A_n}$ ，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案？
有 $n$ 个整数 $1,2,...,n$ 和一个栈，进栈顺序为 $1,2,...,n$ ,每个数字都要出入一次栈，用 $S$ 表示数字入栈， $X$ 表示数字出栈，那么合法的序列有多少个？
$n$ 个高矮不同的人，排成两排，每排必须是从矮到高排列，而且第二排比对应的第一排的人高，问排列方式有多少种？
（由 $\frac n2$ 个 $0$ 和 $\frac n2$ 个 $1$ 组成的序列中数字 $1$ 左侧 $0$ 的个数要大于 $1$ 的个数，问这样的序列由多少种？）
$n$ 个节点构成的二叉树，共有多少种不同情形？
在圆上选择 $2n$ 个点，将这些点成对连接起来使得所得到的 $n$ 条线段不相交的方法数？
将一个凸多边形划分成三角形总共有多少种方法？
用 $n$ 个长方形填充一个高度为 $n$ 的阶梯状图形的方法个数？

这些问题的答案都是Catalan数或与Catalan有关。
答案是多少呢？我忘了。