leetcode 45： Jump Game II

题目描述

思路分析

最朴素的想法是，对于每个位置，挨个尝试一遍不同的跳法，这样总能找到最优解，最坏情况下A[i]=n，那么时间复杂度为O(n^2)。显然会超时，所以在这个朴素的算法上改进。

如果用动态规划求解，考虑如何划分子问题。一个很自然的想法是将起跳点为子问题边界，令p[i]表示从第i个位置起跳，到终点所需最小步数，则代价函数为p[i] = 1 + min{p[i + j]}, (1 ≤ j ≤ A[i])。再分析一下时间复杂度，对于每个p[i]需要循环A[i]次，一共有n个p[i]，所以最坏情况下时间复杂度为O(n^2)，可以看出，动态规划实际上跟朴素算法在时间复杂度上没有区别。

考虑能否使用贪心法，对于每个位置，尽量往最远的地方跳。显然这样只考虑了1跳的情况，比较"短视"，很容易举出反例。

但是，可以把贪心法改进一下，考虑2跳的情况，即贪心的条件是：当前跳跃+下次跳跃的总距离最远

看一下贪心法的时间复杂度，虽然在每个起跳位置仍然要枚举A[i]次，但对于每个位置只遍历一遍，所以是O(n)。

回过头来想想：本题的特点是在每个步骤上，可选择的范围是连续的，从1到A[i]。正是这个条件导致了动态规划过于低效以及可以使用贪心法，A[i]表示在i处只能跳A[i]那么远，就不能用贪心法了，动归也不再是O(n^2)的了。

转化为代码时，实际上我们关心的只是前两跳最多能跳多远，所以用range保存第1跳能及的范围，next表示在此基础上第2跳能及的范围。当所处位置尚在第1跳范围内时，更新第2跳的范围，当所处位置超过了第1跳的范围，count加1，表示不得不跳一次，同时将第1跳的范围更新成原先第2跳的范围。如此迭代进行下去。

int jump(int A[], int n) {
        int range = 1; // 第1跳能及的最远范围
        int next = 0; // 第2跳能及的最远范围
        int i = 1;
        int count = 0;

        while (range < n) {
            if (i <= range) {
                next = max(next, i + A[i - 1]);
                i++;
            }
            else {
                count++;
                range = next;
            }
        }

        return count;
    }