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中级软件设计师 备考笔记（持续更新）
数据结构与算法基础
线性表
基本数据结构
顺序表
在内存中是顺序存储的。内存划分出来的区域是连续的区块。
链表
在内存中是离散存储的。
- head：头结点
- 结点：包括数据域和指针域（next 域）
链表的分类
单链表
头结点 head 指向第一个结点的数据域，第一个结点的指针域指向下一个结点的数据域…
| 注意：单链表的最后一个结点的指针域为空（null）！！！ |
循环链表
| 注意：循环表的最后一个结点的指针域不为空，而是指向了头结点！！！ |
双链表
链表的操作
单链表的结点删除
需求：删除 a2 结点
具体操作：将要删除的结点（a2）的前一个结点（a1）的 next 域指向 a2 的后一个的结点（a3）的数据域，然后释放（free）掉 a2 即可。
单链表的结点插入
需求：在 a1 结点后面插入一个新的结点 x
具体操作：将 a1 的 next 域指向 x 的数据域，将 x 的 next 域指向 a2 的数据域即可。
顺序表与链表的比较
| 性能类别 | 具体项目 | 顺序存储 | 链式存储 |
|---|---|---|---|
| 空间性能 | 存储密度 | =1，更优 | < 1 |
| 容量分配 | 事先确定 | 动态改变，更优 | |
| 时间性能 | 查找运算 | O（n/2） | O(n/2) |
| 读运算 | O（1） | O（[n+1]/2），最好情况为1，最坏情况为n | |
| 插入运算 | O（n/2）最好情况为0，最为情况为 n | O（1），更优 | |
| 删除运算 | O（[n-1]/2） | O（1），更优 |
栈
- 思想：先进后出
队列
线性队列
- 思想：先进先出
循环队列
head：头指针（队头）
tail：尾指针（队尾）
- 当队列中没有存入值的时候，head 指针和 tail 指针指向同一个元素，并且该元素的值是空的！！！
- 当循环队列开始存入值时，head 指针是不动的，tail 指针是后移一个位置。
| 注意： 循环队列中为了能够区别队空和队满，牺牲了队列的最后一个空间。 判空条件：head = tail 判满条件：head = tail+1 |
树和二叉树
树的一些基本概念
（结合下面的图进行解释）
- 结点的度：结点1与下一层的3个结点相关联，所以结点1的度为3。
- 树的度：所有结点度当中，度数最高的一个，所以如图树的度为3。
- 叶子结点：度为 0 的结点。
- 分支结点：除了叶子节点外，其它都属于分支结点。
- 内部结点：除了根节点和叶子结点外，其它都属于内部结点。
- 父结点
- 子结点
- 兄弟结点
- 层次：如图所示。
树的遍历
前序遍历
访问顺序：先访问根节点再访问子结点。
如上图的前序遍历为：1，2，5，6，7，3，4，8，9，10
后序遍历
访问顺序：先访问子结点再访问跟结点
如上图的后序遍历为：5，6，7，2，3，9，10，8，4，1
层次遍历
访问顺序：从上往下，一层一层访问
如上图的层次遍历为：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10
二叉树
| 注意：二叉树并不是一种特殊的树，而是一种独立的数据结构，有明确的左结点和右结点。 |
二叉树的重要特性：
-
在二叉树的第 i 层上最多有 2^(i-1) 个结点（i>=1）
-
深度为 k 的二叉树最多有 2^k - 1 个结点（k>=1）
-
对任何一颗二叉树，如果其叶子结点数为 n0，度为 2 的结点数为 n2，则 n0=n2+1
-
下图中的运算符号为向下取整。
二叉树的遍历
前序遍历
- 先访问根结点，接着访问左结点，最后访问右结点。
中序遍历
- 先访问左结点，接着访问根结点，最后访问右结点。
后序遍历
- 先访问左结点，结合访问右结点，最后访问根结点。
树与二叉树的转换
- 加线：在兄弟之间加一连线
- 抹线：对每个结点，除了其左孩子外，去除其与其余孩子之间的关系
- 旋转：以树的根结点为轴心，将整树顺时针转45°
| 注意：转换后，树和二叉树的前序遍历一样。 |
二叉排序树
左子树的值小于根结点的值，右子树的值大于根结点的值。
在常用的描述二叉排序树的存储结构中，关键字值最大的结点的右指针一定为空。
最优二叉树（哈弗曼树）
- 需要了解的基本概念
树的路径长度：从根结点到某结点的边数
权：人为赋值
带权路径长度：权值乘于边数
树的带权路径长度：所有的叶子结点的带权路径长度相加
例子：由权值为9，2，5，7的4个叶子结点构造一棵哈弗曼树，该树的带全路径长度为（44）。
解析：
构造哈夫曼树的方法是依次从提供的权值中（9，2，5，7）选取两个权值最小（2，5）的最为左右结点，组合成一个新的根节点（2+5=7）也要参与到第二次权值选择中。也就是说，第二次要从（9，7，7）中选取两个最小的权值。
最后生成的树如下图：
例子：若一颗哈夫曼树共有9个顶点，则其叶子节点的个数为（5）。
n0 = n2 +1
9 = n0 + n2
平衡二叉树
基本概念
它或者是一颗空数，或者是一颗这样的树：树中任一结点的左、右子树的深度相差不超过1（即平衡查找树的每个结点的平衡度只能为 -1，0，1 三个值之一）。
平衡树的建立
平衡树调整
LL 型平衡旋转（单向右旋平衡处理）
- 第一种情况：
- 第二种情况
RR 型平衡旋转（单向左旋平衡处理）
LR 型平衡旋转（双向旋转，先左后右）
RL 型平衡旋转（双向旋转，先右后左）
图
图的构成
- 一个图是由两个集合：V和E组成，V是有限的非空顶点集合，E是用顶点对表示的边集合，图G的顶点集和边集分别记为V（G）和E（G），而将图G表示为G=（V,E），也就是说，决定一个图需要知道它的顶点集合与边的集合。
无向图与有向图
- 区别于边是否有箭头。
假设A，B为图中的两个顶点。
无向图的边表示方法：（A，B）
有向图的边表示方法：<A→B>、<B→A>
顶点的度（degree）
-
关联顶点的边数
-
有向图：入度和出度
子图
- 已知图A和图B，如果图B中所有的顶点都是图A中的顶点，图B中的所有边都是图A中的边，则图B是图A的子图。允许两种极端情况：什么都不删；删去所有点和所有线
真子图：同“子图”概念一样，但不允许什么都不删。
完全图
无向图，每对顶点之间都有一条边相连，则称该图为完全图。
有向图，每对顶点之间都有两条有向边相互连接，则称该图为完全图。
路径和回路
- 假设图中的两个顶点A和B，A到B之间经过的边数称为路径。从顶点A出现，最后又回到顶点A，所走过的边组成的称为回路。
连通图和连通分量
无向图：任何两个顶点都有路径到达的图，称为连通图。
有向图：每两个顶点之间都能够有边（此处的边为有向边）到达的图，称为连通图。
连通分量：把连通图给分割出来，每一部分都是该图的连通分量。
邻接矩阵
图的遍历
图的最小生成树
普里姆算法（Prim 算法）
先选取树的第一个顶点（如图点0），再判断所选点到其它点的权值，如果的所选点无法直接到达的点，权值暂时标记为无穷大，然后选取与点0的权值最小的点作为树的第二个顶点。然后再以第二个顶点为基点，判断与其它点的权值大小，循环以上得到第二个顶点的操作，直到生成了树。
克鲁斯卡算法
- 算法思想：依次选取权值最小的边，只要不行成回路即可。
拓扑排序
AOV 网络
我们把用有向边表示活动之间开始的先后关系。
这种有向图称为用顶点表示活动网络，简称AOV网络。
拓扑顺序
入度为0先进行。
上图的拓扑序列有：02143567，01243657，02143657，01243567
关键路径
AOE 网络
在AOV网络中，如果边上的权表示完成该活动所需的时间，则称这样的AOV为AOE网络。
关键路径的几个重要概念
| 关键路径，就是从源点到终点，路径长度最长的路径。 |
