【带权二分+树形DP】[九省联考 2018] 林克卡特树

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为什么CSDN这么辣鸡？我戳进来又要我再发表一次？然后时间就不对了。这个题我之前就写了。

【题目】
LOJ
给定一棵 $n$ 个点带边权的树，你可以（且必须）删去其中 $K$ 条边，再连上 $K$ 条边权为 $0$ 的边，价值是大路径权。求所有方案中你能得到的最大价值。
$n,K\leq 3\times 10^5$

【解题思路】
考虑已经删掉了边，答案在树中应该是怎么样的？显然是由原树中恰好 $K+1$ 条点不相交的链组成的（单独一个点也算）。

现在问题就是在树上选择 $K$ 条点不相交的链使得边权和最大。

不妨设 $f_{i,j,0/1/2}$ 表示在 $i$ 这个点，子树中选择了 $j$ 条链，这个点和子树中多少条链相连，的最大权值和。那么转移就是一个类似背包的东西，复杂度 $O(nk^2)$ 。

观察到答案关于 $K$ 的函数应该是一个单峰的函数，不妨考虑进行带权二分。

具体来说，我们二分一个斜率 $s$ ，每次新选择一条路径时，需要额外失去 $s$ 点权值，要求的就是选择的最大权值和是多少。

这个问题我们可以在 $O(n)$ 的时间内用一个简单的 $\text{DP}$ 求解，方式和之前的做法一样，只是少了 $K$ 这一维。

这样做复杂度是 $O(n\log V)$ 的。

$\text{DP}$ 的时候我们需要记录最优的时候至少选择几条链，但由于答案函数可能在一段区间中都取到最优值，无法恰好二分出 $K$ 条链，不过没有关系，我们一定能构造出来答案，那么需要保留的就是最接近 $K$ 且不超过 $K$ 的答案。

一些细节：二分的时候只需要在整数范围内二分就可以了，选择单独一个根节点时，看作与子树中 $1$ 条链相连，更新时倒序更新。

一个警告：不要使用pair类型重载大于小于号，否则很有可能出现问题。（下面的代码懒得改了，虽然这样写是对的）

【参考代码】

#include<bits/stdc++.h>
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;

typedef long long ll;
typedef pair<int,ll>pii;//times,val
const ll inf=1e15;
const int N=3e5+10;
int n,K,tot,head[N];
ll mid,ans,rem;
pii f[N][3];

int read()
{
	int ret=0,f=1;char c=getchar();
	while(!isdigit(c)) {if(c=='-')f=0;c=getchar();}
	while(isdigit(c)) ret=ret*10+(c^48),c=getchar();
	return f?ret:-ret;
}

struct Tway{int v,nex,w;}e[N<<1];
void add(int u,int v,int w)
{
	e[++tot]=(Tway){v,head[u],w};head[u]=tot;
	e[++tot]=(Tway){u,head[v],w};head[v]=tot;
}

bool operator <(const pii&a,const pii&b){return a.se==b.se?a.fi>b.fi:a.se<b.se;}
pii Max(const pii&a,const pii&b){return a<b?b:a;}
pii operator +(const pii&a,const pii&b){return mkp(a.fi+b.fi,a.se+b.se);}
pii operator +(const pii&a,const ll&b){return mkp(a.fi,a.se+b);}
void gmax(pii&a,pii b,int c){b.fi+=c;a=Max(a,b);}

void dfs(int x,int fa)
{
	f[x][0]=mkp(0,0);f[x][1]=mkp(1,-mid);f[x][2]=mkp(0,-inf);
	for(int i=head[x];i;i=e[i].nex)
	{
		int v=e[i].v,w=e[i].w;
		if(v==fa) continue; dfs(v,x);
		pii a=Max(f[v][0],Max(f[v][1],f[v][2]));
		//printf("%d %lld\n",a.fi,a.se);
		gmax(f[x][2],f[x][2]+a,0);gmax(f[x][2],f[x][1]+f[v][1]+mid+w,-1);
		gmax(f[x][1],f[x][1]+a,0);gmax(f[x][1],f[x][0]+f[v][1]+w,0);
		gmax(f[x][0],f[x][0]+a,0);
	}
}

int solve()
{
	dfs(1,0);pii res=mkp(0,-inf);
	for(int i=1;i<=n;++i) res=Max(res,Max(f[i][0],Max(f[i][1],f[i][2])));
	if(res.fi<=K) ans=res.se;
	//printf("%lld %d %lld\n",mid,res.fi,res.se);
	return res.fi;
}

int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("LOJ2478.in","r",stdin);
	freopen("LOJ2478.out","w",stdout);
#endif
	n=read();K=read()+1;
	for(int i=1,x,y;i<n;++i) x=read(),y=read(),add(x,y,read()); 
	ll l=-1e12,r=1e12;
	while(l<=r)
	{
		mid=(l+r)>>1;
		if(solve()<=K) rem=mid,r=mid-1;
		else l=mid+1;
	}
	printf("%lld\n",ans+rem*K);
	return 0;
}

【带权二分+树形DP】[九省联考 2018] 林克卡特树

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