排队论模型（四）：M / M / s 混合制排队模型

1 单服务台混合制模型

单服务台混合制模型 M / M /1/ K 是指：顾客的相继到达时间服从参数为λ 的负指数分布，服务台个数为1，服务时间V 服从参数为 μ 的负指数分布，系统的空间为 K ，当 K 个位置已被顾客占用时，新到的顾客自动离去，当系统中有空位置时，新到的顾客进入系统排队等待。

由于排队系统的容量有限，只有 K −1个排队位置，因此，当系统空间被占满时，再来的顾客将不能进入系统排队，也就是说不能保证所有到达的顾客都能进入系统等待服务。假设顾客的到达率（单位时间内来到系统的顾客的平均数）为 λ ，则当系统处于状态 K 时，顾客不能进入系统，即顾客可进入系统的概率是 $\large 1- p_{K}$ 。因此，单位时间内实际可进入系统的顾客的平均数为：

例 5 某修理站只有一个修理工，且站内最多只能停放 4 台待修的机器。设待修机器按 Poisson 流到达修理站，平均每分钟到达 1 台；修理时间服从负指数分布，平均每 1.25 分钟可修理 1 台，试求该系统的有关指标。

解该系统可看成是一个 M / M /1/ 4 排队系统，其中

扫描二维码关注公众号，回复： 6101741 查看本文章

编写 LINGO 程序如下：

model:
sets:
state/1..4/:p;
endsets
lamda=1;mu=1/1.25;rho=lamda/mu;k=4;
lamda*p0=mu*p(1);
(lamda+mu)*p(1)=lamda*p0+mu*p(2);
@for(state(i)|i #gt#1 #and# i #lt#
k:(lamda+mu)*p(i)=lamda*p(i-1)+mu*p(i+1));
lamda*p(k-1)=mu*p(k);
p0+@sum(state:p)=1;
P_lost=p(k);lamda_e=lamda*(1-P_lost);
L_s=@sum(state(i)|i #le#k:i*p(i));
L_q=L_s-(1-p0);
W_s=L_s/lamda_e;
W_q=W_s-1/mu;
end

2 多服务台混合制模型

多服务台混合制模型 M / M / s/ K 是指顾客的相继到达时间服从参数为λ 的负指数分布，服务台个数为 s ，每个服务台服务时间相互独立，且服从参数为 μ 的负指数分布，系统的空间为 K 。

由式（4），式（5）和式（6），并注意到在本模型中

于是

例 6 某汽车加油站设有两个加油机，汽车按 Poisson 流到达，平均每分钟到达 2 辆；汽车加油时间服从负指数分布，平均加油时间为 2 分钟。又知加油站上最多只能停放 3 辆等待加油的汽车，汽车到达时，若已满员，则必须开到别的加油站去，试对该系统进行分析。

解可将该系统看作一个 M / M / 2 / 5 排队系统，其中

编写 LINGO 程序如下：

model:
sets:
state/1..5/:p;
endsets
lamda=2;mu=0.5;rho=lamda/mu;s=2;k=5;
lamda*p0=mu*p(1);
(lamda+mu)*p(1)=lamda*p0+2*mu*p(2);
@for(state(i)|i #gt#1 #and# i #lt# s:
(lamda+i*mu)*p(i)=lamda*p(i-1)+(i+1)*mu*p(i+1)); 
@for(state(i)|i #ge# s #and# i #lt# k:
(lamda+s*mu)*p(i)=lamda*p(i-1)+s*mu*p(i+1));
lamda*p(k-1)=s*mu*p(k);
p0+@sum(state:p)=1;
P_lost=p(k);lamda_e=lamda*(1-P_lost);
L_s=@sum(state(i):i*p(i));
L_q=L_s-lamda_e/mu;
W_s=L_s/lamda_e;
W_q=W_s-1/mu;
end

在对上述多服务台混合制排队模型 M / M / s/ K 的讨论中，当 s = K 时，即为多服务台损失制系统。对损失制系统，有

式（52）称为 Erlang 损失公式， B(s, ρ) 亦表示了到达系统后由于系统空间已被占满而不能进入系统的顾客的百分比。

对损失制系统，平均被占用的服务台数（正在接受服务的顾客的平均数）为