题目描述
Description
Input
Output
Sample Input
4 4 1
1 2 1
2 3 2
3 4 4
4 1 8
4
Sample Output
8
4
Data Constraint
10%
暴力不解释
100%
经过暴力打表观察可以发现，每条合法路径一定是由一条从1出发的链和若干个环组成
证明随便画几个图
所有的情况都存下来是不可能的，所以考虑只存所有从1出发的链，把链去重后乘上环所有可能异或的情况
假设q=0
很显然可以暴力+hash
线性基
考虑用一种高效的方法，在O(log x)的空间、O(n log x)的时间内找出一个没有0的集合，且该集合和原集合任意选取一些数异或出的集合相等
实际上方法并不难
设原序列为a[]，当前线性基为b[]，当前插入的数为x，最高位为i
对于插入的每个数
如果b[i]存在，则x^=b[i]，继续
否则b[i]=x，退出
显然线性基大小与x有关，为O(log x)
线性基有一些优美的性质
①有至少一个数时异或的结果不为0
显然
因为最高位两两不同
②异或出的值两两不同
反证法：
如果a1^a2^a3…=an+1^an+2^an+3^…
所以a1^a2^a3^an+1^an+2^an+3^…=0，与①矛盾
③异或出的集合等于原序列异或的集合
观察构建线性基的过程，发现每个b[]都可以被一些a[]所表示，每个a[]也可以被一些b[]所表示
所以a异或出的集合包含b异或出的集合，b异或出的集合也包含a异或出的集合
所以a异或出的集合等于b异或出的集合
④最多只需要选取log x个数就可以异或出所有可能的异或值（jzoj6020）
也就是线性基中最多只有log x种不同的a[]
因为每次加入新的数时可能多一种a[]，所以一共是log x种
⑤线性基是满足条件的最小集合
好像网上证明不多所以随便口胡一下
根据归纳法，已经构造了当前最优的线性基b，要新加入一个数x
1.x能被当前线性基中的数表示
那么x经过一番异或之后一定变成0，不会被加进去
2.x不能被当前线性基中的数表示
则x一定能被b和后面一些没有加入的数表示
即x=b…^a…
那么a的某一项=x^b…^a的其余项
可以发现，如果这时加入x，a中的某一项就可以不用加入了
所以不加入肯定不会更优
⑥x是否能被线性基中的数表示，却不能被上面的程序所识别？
显然不可能
证明不会反正就是对的
线性基可以用来解决求xor的集合、构建最大最小的数之类的问题，这里不多讲
正题
先随便找一颗生成树，可以发现有用的环是由一条非树边和树上两点之间的链构成，而任意的环都可以由这些有用的环异或而成
所以建dfs树，每次只用考虑返祖边构成的环，求环的值可以用树上前缀和
然后把环的值丢到线性基里，可以求出最小能表示全部值
环的方案就是2线性基大小
暴力求出所有链的情况，在线性基中异或到最小，丢到哈希中去重
如果两条链的异或结果相同，则一条链一定能用另一条链异或上一些环来表示
然后用链的方案*环的方案就是答案
注意图可能不连通
加上了删边，但是没有强制在线，所以倒过来加边
注意每次线性基更新（加上一条返祖边时可能出现新的值）就暴力重构哈希表
因为重构次数不超过log x，暴力求链为O(n)，所以总复杂度为
O(n log x)
code
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#define fo(a,b,c) for (a=b; a<=c; a++)
#define fd(a,b,c) for (a=b; a>=c; a--)
#define mod 10000019
using namespace std;
int a[400002][2];
long long a2[400002];
int ls[200001];
int A[400002][2];
long long A2[400002];
long long f[61];
int B[200001];
bool _BZ[200001];
bool bz2[400002];
long long ans[200001];
long long s[200001];
int D[200001];
long long p[61];
int d[200001];
long long hash[mod];
int n,m,q,I,i,j,k,l,len,Tot,x,y;
long long tot;
bool cg;
void New(int x,int y,long long z)
{
++len;
a[len][0]=y;
a[len][1]=ls[x];
ls[x]=len;
a2[len]=z;
}
long long get(long long t)
{
long long s=576460752303423488;
int i;
fd(i,59,0)
{
if (t&s)
t^=f[i];
s>>=1;
}
return t;
}
void Hash(long long t)
{
t=get(t);
int i=t%mod;
while (hash[i]>-1 && hash[i]!=t)
i=(i+1)%mod;
if (hash[i]==-1)
{
hash[i]=t;
D[++tot]=i;
}
}
void clear()
{
int i;
fo(i,1,tot)
hash[D[i]]=-1;
tot=0;
}
void put(long long t)
{
long long s=576460752303423488;
int i;
fd(i,59,0)
{
if (t&s)
{
if (!f[i])
{
f[i]=t;
++Tot;
cg=1;
return;
}
else
t^=f[i];
}
s>>=1;
}
}
void dfs(int fa,int t)
{
int i;
for (i=ls[t]; i; i=a[i][1])
if (a[i][0]!=fa)
{
if (!d[a[i][0]])
{
d[a[i][0]]=d[t]+1;
bz2[i]=1;bz2[i^1]=1;
s[a[i][0]]=s[t]^a2[i];
Hash(s[a[i][0]]);
dfs(t,a[i][0]);
}
else
if (!bz2[i])
{
bz2[i]=1;bz2[i^1]=1;
put(s[t]^s[a[i][0]]^a2[i]);
}
}
}
void swap(int &x,int &y)
{
int z=x;
x=y;
y=z;
}
int main()
{
freopen("travel.in","r",stdin);
freopen("travel.out","w",stdout);
memset(hash,255,sizeof(hash));
p[0]=1;
fo(i,1,60)
p[i]=p[i-1]*2;
len=1;
scanf("%d%d%d",&n,&m,&q);
fo(i,1,m)
scanf("%d%d%lld",&A[i][0],&A[i][1],&A2[i]);
fo(i,1,q)
{
scanf("%d",&B[i]);
_BZ[B[i]]=1;
}
j=q;
fo(i,1,m)
if (!_BZ[i])
B[++j]=i;
d[1]=1;
Hash(0);
fd(i,m,1)
{
ans[i]=tot*p[Tot];
cg=0;
I=B[i];
New(A[I][0],A[I][1],A2[I]);
New(A[I][1],A[I][0],A2[I]);
x=A[I][0];y=A[I][1];
if (d[x]>d[y]) swap(x,y);
if (d[y])
dfs(0,y);
if (cg)
{
clear();
fo(j,1,n)
if (d[j])
Hash(s[j]);
}
}
printf("%lld\n",tot*p[Tot]);
fo(i,1,q)
printf("%lld\n",ans[i]);
fclose(stdin);
fclose(stdout);
return 0;
}
参考资料
https://www.cnblogs.com/vb4896/p/6149022.html
https://blog.csdn.net/qq_36056315/article/details/79819714
https://www.cnblogs.com/vb4896/p/6149022.html