Corner Cat 训练实录

现场赛记录：[名称：奖项/排名]

2019：

To do List：

总结：

若一个式子长这样——$\sum_{i}\sum_{j}\binom{n}{i}\binom{m}{j}… $，可以考虑枚举一维然后利用二项式定理化简另外一维，降低了一层复杂度
一些数学猜公式题可以考虑归纳
莫队的时候尤其要注意排序不要写错，写错了会出现莫名的WA和RE，不明白为什么(雾
写斜率优化的时候，要注意维护的凸包是叉积严格<0或者>0，=0的时候一定要删掉，容易出现问题
要尤其注意sort时候<的重载，写的不好会TLE
随机点算图形期望的时候要先真·随机产生点，再把不在范围内的点剔除
实数二分保留答案的那一边不要有eps（比如：l=mid,r=mid-eps或者l=mid+eps,r=mid）
写凸包的时候注意<=0和>=0不能写反
一个字符串s的循环周期并不一定是最小循环周期的倍数，如aaabcdaaa，6,7,8,9都是其循环周期
指数降幂公式： $a^x \% p =a^{x \% \phi(p)+\phi(p) } \% p (x\geqslant \phi(p))$
看见 $a(n)$ 和 $a(n/2)$ 关系的递推式，要想到二进制
形如 $x^2-dy^2=1(d是正整数且不是完全平方数)$ 的不定方程叫pell方程，设其有一组特殊最小正整数解 $(x_0,y_0)$ 则有$x_{n+1}=x_0x_n+dy_0y_n,y_{n+1}=y_0x_n+x_0y_n $ 以及 $ x_{n+2}=2x_0x_{n+1}-x_n,y_{n+2}=2x_0y_{n+1}-y_n $。
对于 $x^2-dy^2=-1(d是正整数且不是完全平方数)$ ，可能有解可能有无数解，解为 $x_{n+1}=(x_0^2+dy_0^2)x_n+2dx_0y_0y_n,y_{n+1}=2x_0y_0x_n+(x_0^2+dy_0^2)y_n$ 。若d为素数且d=4k+1，则必定有解
对于 $x^2-dy^2=k^2$ ，等价于 $(\frac{x}{k}) ^ 2 - d (\frac{y}{k}) ^2 = 1$
若b能整除a，则 $\frac{a}{b} \% mod = \frac{a \% (b \times mod)}{b}$
当用cdq分治+FFT处理递推卷积的时候，若形式是 $f(n)=\sum f(i) \times f(n-i)$ ，那么在处理 $cdq(l,r)$ 的时候，将 $A=(f_l,f_{l+1},...,f_{mid})与B=(f_1,f_2,...,f_{r-l})$ 卷积的时候，要注意对于B中的 $f_i$ ，若 $i<l \ or \ i>mid$ ，系数要乘2。
要求字典序最小的问题一般都能贪心逐位确定。
$(x+1)^{k\downarrow}=x^{k\downarrow}+kx^{(k-1)\downarrow}$ , $x^k=\sum_{i=0}^k x^{i\downarrow}S(k,i)$
对于任何数x， $x^{0 \downarrow}=1$
无向图Matrix-Tree定理：求无向图G的生成树个数。设 $D$ 是图G的度数矩阵（ $D(i,i)$ 表示第i个点的度数，其它位置是0），设 $A$ 是图G的邻接矩阵（ $A(i,i)=0$ ， $A(i,j)$ 表示i和j之间的边数），基尔霍夫矩阵 $Q=D-A$ ，则对于 $Q$ 的任意一个代数余子式 $Q'$ ， $det(Q')$ 的值就是图G的生成树个数。
有向图Matrix-Tree定理：求以某个点为根的树形图个数。 $D、A、Q$ 的定义同无向图的，对于点 $w$ ，设 $t_w(G)$ 表示以w为根的树形图的个数， $Q_w$ 表示矩阵Q第w行对应的代数余子式，那么 $t_w(G)=det(Q_w)$ 。
BEST theorem：求欧拉图中欧拉回路的个数。 $ec(G)=t_w(G) \times \prod_{v\in V} (deg(v)-1)!$ ，其中 $deg(v)$ 表示点v的入度， $w$ 的选取是任意的，因为容易发现对于欧拉图，所有点的 $t_i(G)$ 的值都相同。
$\binom{n}{a} \times \binom{a}{x} $ 不等于 $\binom{n}{x}$
模2意义下的多项式降幂： $f(x)^2=f(x^2) \ (mod \ 2)$
$\mu(n)^2=\sum_{d^2|n} \mu(d)$
$\phi _n(x)$ 表示n次单位根下的分圆多项式，那么有 $x^n-1=\prod_{d|n} \phi _d(x)$ ，可以用来对于 $x^n-1$ 的因式分解。分圆多项式可以通过莫比乌斯反演求得，即 $\phi _n(x)=\prod_{d|n}(x^d-1)^{\mu(\frac{n}{d})}$ 。其中 $\phi _n(x)$ 的最高次数正好是 $\phi(n)$ ，也就是说具体的求的时候可以将其对 $x^{\phi(n)+1}$ 取模，类似背包那种的dp。
开根下取整可以用牛顿迭代的整除形式做，最终 $k$ 和 $\frac{n}{k}$ 会收敛到相差<=1的数字。
对偶规则：
互补松弛性：在线性规划问题的最优解中，如果对应某一约束条件的对偶变量值为非零，则该约束条件取严格等式；反之，如果约束条件取严格不等式，则其对应的对偶变量也一定为零。
$[i \mod 2 = 0 ]$ 等价于 $\frac{(-1)^i+1^i}{2}$ ，可以用来式子化简
若需要求期望，并且不是在取模意义下，有时候需要dp求方案数和总权值和，但这个可能会很大，可以用long double来保存
建好一个kdtree之后，若要在上面寻找一个已有点，注意一定要以矩形的形式查找，两边都要递归下去
对于01图的最短路，可以采用双端队列，即如果当前扩展的边是0，就放队列开头，如果当前扩展的边是1，就放队列结尾，这样的话复杂度是线性的
容斥原理也可以通过递推来理解，设 $F(P)$ 表示至少有P个位置不合法的方案数， $G(P)$ 表示恰好有P个位置不合法的方案数，那么 $G(P)=F(P)-G(P+1)$ ,倒推一下， $G(0)$ 就是答案
若一个最优化安排问题有明显的时间段，有t时刻的储存到t+1时刻之类的限制，往往都可以建成网络流模型；若网络流时间复杂度过不去，可以考虑能否贪心，贪心的一种思路就是从前往后我尽可能地买，在后面决定这些卖不卖，留到最后还没卖出的就可以视作当时没有制造出来
在考虑树上路径最优化问题的时候，可以考虑线头DP，在做线头DP的时候，先不考虑根节点k本身，先把它孩子子树合上来，然后再考虑从k点加线头进行转移，然后再考虑从k点封线头进行转移（可能会形成孤立点），然后给那些经过k点的方案加上k点的权值，有时候你还需要多开一个维度的状态表示是否经过了k点
在做queue或者priority_queue的时候，若从中间return了，那么下次再执行算法的时候一定要清空队列！
回滚莫队可以将一般莫队的删除操作变成撤销操作。按左端点所在块编号为第一关键字，右端点为第二关键字排序。对于左端点在同一个块里的询问我们统一处理：对于那些右端点也在块内的，我们直接暴力；对于那些右端点在块外的，一定是单增的，我们假设当前块的最右边是right，那么我们首先把右端点从上次的位置移到这次的位置（加入操作），然后把左端点从right移到当前询问的左端点，得到答案后，再把左端点移回right。（这是撤销操作，不是删除操作）

找规律题总结：

OEIS、BM、插值
不少找规律的问题是前面几项或十几项没规律，从中间开始有规律
对一个数列找规律的时候，可能可以将其拆分成两个序列的并，分别可以OEIS/BM

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