树以及二叉树的基本概念

树以及二叉树的基本概念

1. 掌握树的基本概念
2. 掌握树的相关概念
3. 掌握树的表示方式
4. 熟悉二叉树的基本概念以及特性
5. 熟悉完全二叉树以及满二叉树的概念
6. 熟悉二叉树的性质：1 2 3 4 5
7. 熟悉二叉树的存储方式

1. 掌握树的基本概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n(n >= 0) 个有限节点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一颗倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下特点：每个节点有零点或多个子节点；没有父节点的节点称为根节点；每一个非根节点有且只有一个父节点；除了根节点外，每个子节点可以分为多个不相交的子树。

2. 掌握树的相关概念

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度。
叶节点或终端节点：度为0的节点。
非终端节点或分支节点：度不为0的节点。
双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点。
孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点。
兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点。
树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度。
节点的层次：从根开始定义起，根为第一层，根的子节点为第二层，以此类推。
树的高度或深度树中节点的最大层次。
堂兄弟节点：双亲在同一层次的节点互为堂兄弟。
节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点。
子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。
森林：由m(m>=0)棵互不相交的树的集合。

3. 掌握树的表示方式

树结构相对线性表比较复杂，表示起来较麻烦，实际中树有很多种表示方式，如：孩子表示法，双亲表示法，孩子兄弟表示法。
孩子表示法：

struct Node
{
	TDataType _data;
 struct Node* child1;
 struct Node* child2;
 struct Node* child3;
}

双亲表示法：

struct Node
{
	TdataType _data;
	struct Node* _parent;
}

孩子兄弟表示法：

struct Node
{
	struct Node* _child1;
	struct Node* _pNextBrother;
	TDataType _data;
}

4. 熟悉二叉树的基本概念以及特性

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合或者为空，或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。
二叉树的特点：

1. 每个节点最多有两棵子树，即二叉树不存在度大于2的结点。
2. 二叉树的子树有左右之分，其子树的次序不能颠倒。

5. 熟悉完全二叉树以及满二叉树的概念

1. 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是(2^k) -1 ，则它就是满二叉树。
2. 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

6. 熟悉二叉树的性质：1 2 3 4 5

（1）若规定根节点的层数为1，则一颗非空二叉树的第i层上最多有2^i-1 （i>0）个节点
（2）若规定只有根节点的二叉树的深度为1，则深度为k的二叉树的最大节点个数是2^k -1(k>0)
（3）对任意一颗二叉树，如果其叶节点个数为n0，度为2的非叶节点个数为n2，则有 n0 = n2 +1
（4）具有n个节点的完全二叉树的深度k为log₂ (n+1)向上取整
（5）对于具有n个节点的完全二叉树，如果按照从上到下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于编号为i的节点有：

• 若 i > 0，双亲序号：(i - 1)/2
• 若 2i+1<n，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子
• 若 2i+2<n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子

7. 熟悉二叉树的存储方式

二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。
顺序存储：
顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，关于堆我们后面的章节会专门讲解。二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。

链式存储：
二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址 。链式结构又分为二叉链和三叉链。

// 二叉链
struct BinaryTreeNode
{
struct BinTreeNode* _pLeft; // 指向当前节点左孩子
struct BinTreeNode* _pRight; // 指向当前节点右孩子
BTDataType _data; // 当前节点值域
}
// 三叉链
struct BinaryTreeNode
{
struct BinTreeNode* _pParent; // 指向当前节点的双亲
struct BinTreeNode* _pLeft; // 指向当前节点左孩子
struct BinTreeNode* _pRight; // 指向当前节点右孩子
BTDataType _data; // 当前节点值域
}；