AcWing 奇数码问题
Description
你一定玩过八数码游戏，它实际上是在一个3×3的网格中进行的,1个空格和1~8这8个数字恰好不重不漏地分布在这3×3的网格中。
例如：
5 2 8 1 3 _ 4 6 7在游戏过程中，可以把空格与其上、下、左、右四个方向之一的数字交换（如果存在）。
例如在上例中，空格可与左、上、下面的数字交换，分别变成：
5 2 8 5 2 _ 5 2 8 1 _ 3 1 3 8 1 3 7 4 6 7 4 6 7 4 6 _奇数码游戏是它的一个扩展，在一个n×n的网格中进行，其中n为奇数，1个空格和1~\(n^2\)−1
这\(n^2\)−1个数恰好不重不漏地分布在n×n的网格中。空格移动的规则与八数码游戏相同，实际上，八数码就是一个n=3的奇数码游戏。
现在给定两个奇数码游戏的局面，请判断是否存在一种移动空格的方式，使得其中一个局面可以变化到另一个局面。
Input
多组数据，对于每组数据：
第1行输入一个整数n，n为奇数。接下来n行每行n个整数，表示第一个局面。再接下来n行每行n
个整数，表示第二个局面。局面中每个整数都是0~\(n^2\)−1之一，其中用0代表空格，其余数值与奇数码游戏中的意义相同，保证这些整数的分布不重不漏。
Output
- 对于每组数据，若两个局面可达，输出TAK，否则输出NIE。
Data Size
- 1≤n<500
Sample Input
3 1 2 3 0 4 6 7 5 8 1 2 3 4 5 6 7 8 0 1 0 0
Sample Output
TAK TAK
题解：
- 晃眼一看仿佛是道搜索题，但其实是找规律题。
- 为了方便描述，我们把这个二维图形拉成一维的图形叫做序列
- 当你左右移动空格时，显然序列不变
- 当你上下移动空格时，相当于某个数于它前/后边的n-1个数交换了位置
- 发现结论：若两序列相等，逆序对奇偶性一定相同。
- 上述结论的证明是一大版数学证明，要说我也不会=.=
- 对于此题，n为奇数，那么n-1就为偶数。因为变化前的逆序对在变化后肯定不是逆序对，所以假设变化前逆序对个数是偶数，那么变化后逆序对的个数是(偶数 - 偶数 = 偶数)偶数，假设变化前逆序对个数是奇数，那么变化后逆序对的个数是(偶数 - 奇数 = 奇数)奇数。所以对于此题，一个序列不管怎么变化，它的奇偶性是不会变的。所以不用实际操作去变化它，只需要判断两初始序列的奇偶性即可。
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define lowbit(x) (x & (-x))
#define N 505 * 505
using namespace std;
int n, cnt, ans1, ans2;
int a[N], b[N], c[N], d[N];
int read()
{
int x = 0; char c = getchar();
while(c < '0' || c > '9') c = getchar();
while(c >= '0' && c <= '9') {x = x * 10 + c - '0'; c = getchar();}
return x;
}
int find(int x) {
return lower_bound(c + 1, c + 1 + cnt, x) - c;
}
int ask(int pos)
{
int r = 0;
while(pos >= 1)
{
r += d[pos];
pos -= lowbit(pos);
}
return r;
}
void update(int pos, int val)
{
while(pos <= n * n - 1)
{
d[pos] += val;
pos += lowbit(pos);
}
}
int main()
{
while(scanf("%d", &n) == 1)
{
cnt = 0;
for(int i = 1; i <= n * n; i++)
{
int t = read();
if(t) a[++cnt] = t;
}
cnt = 0;
for(int i = 1; i <= n * n; i++)
{
int t = read();
if(t) b[++cnt] = t;
}
memset(d, 0, sizeof(d));
cnt = 0;
for(int i = 1; i < n * n; i++) c[++cnt] = a[i];
sort(c + 1, c + 1 + cnt);
cnt = unique(c + 1, c + 1 + cnt) - c - 1;
ans1 = 0;
for(int i = 1; i < n * n; i++)
{
int t = find(a[i]);
update(t, 1);
ans1 += i - ask(t);
}
memset(d, 0, sizeof(d));
cnt = 0;
for(int i = 1; i < n * n; i++) c[++cnt] = b[i];
sort(c + 1, c + 1 + cnt);
cnt = unique(c + 1, c + 1 + cnt) - c - 1;
ans2 = 0;
for(int i = 1; i < n * n; i++)
{
int t = find(b[i]);
update(t, 1);
ans2 += i - ask(t);
}
if((ans1 % 2 == 0 && ans2 % 2 == 0) || (ans1 % 2 != 0 && ans2 % 2 != 0)) printf("TAK\n");
else printf("NIE\n");
}
return 0;
}