期望、方差、协方差与相关系数
期望
定义: 设离散型变量
X 的分布律为
P{X=xk}=pk,k=1,2,⋯.
随机变量
X 的数学期望为
E(X)=k=1∑∞xkpk
设连续型随机变量
X 的概率密度为
f(x),
X 的数学期望为
E(X)=∫−∞∞xf(x)dx
一般的期望也称均值,但是二者有不同。
期望和均值的不同?
期望 是一个概率论概念,均值是一个统计学概念。
均值是实验后根据实际结果统计得到的样本的平均值,期望是实验前根据概率分布来预测样本的均值。所以可以说期望是均值随样本趋于无穷的极限。
方差
方差用来度量随机变量
X 与均值
E(X) 的偏离程度。
定义: 设
X 是一个随机变量,若
E{[X−E(X)]2} 存在, 则称
E{[X−E(X)]2} 为
X 的方差,记为
D(X) 或 Var(X),即
D(X)=Var(X)=E{[X−E(X)]2}
引入
D(X)
,记为
σ(X),称为标准差或者均方差。
离散型随机变量:
D(X)=k=1∑∞[x−E(X)]2pk
其中
pk 是
X 的分布律
连续型随机变量:
D(X)=∫−∞∞[x−E(X)]2f(x)dx
f(x) 是
X 的概率密度。
随机变量
X 的方差可以用下面的公式计算:
D(X)=E(X2)−[E(X)]2
协方差与相关系数
定义:
E{[X−E(X)][Y−E(Y)]} 称为随机变量
X 与
Y 的协方差,记为
Cov(X,Y) 即:
Cov(X,Y)=E{[X−E(X)][Y−E(Y)]}
而
ρXY=D(X)
D(Y)
Cov(X,Y)
称为随机变量
X 与
Y 的相关系数。
协方差可以用于衡量数据直接的相关性,设有数据
X 和 数据
Y, 通过计算二者的协方差可以有下面的三种情况:
-
Cov(X,Y)>0 时,
X 、
Y 正相关,即两者有同时增加或者减少的倾向
-
Cov(X,Y)<0 时,
X 、
Y 正相关,即两者有反向增加或者减少的倾向
-
Cov(X,Y)=0 时,
X 、
Y 不相关
那么相关系数又是干嘛的呢,假如我们有身高、体重、年龄这三组数据,我们想比较一下到底是身高与体重的相关性大,还是年龄与体重的相关性大?那我们计算身高、体重会有一个单位(厘米.公斤)的度量,计算年龄、体重也会有一个单位(岁.公斤)度量,这样的话单位不统一就没有评价的标准。通过计算他们的相关系数,就可把单位消掉,忽略它们各自不同的度量,就可以归一化到 -1 和 1 之间的值进行比较。