题意
给定一棵无根树,删除或连接一条边的代价为\(1\),求把树变为环的最小代价.
前置思路
如果删除了\(k\)条边,使得树变成\((k+1)\)条链,再用\((k+1)\)次连接操作把树变成一个环,那么总代价为\((2 \times k +1)\).
问题转化为求\(k\)的最小值,即最少能将一棵树分为多少条链.
思路1 树形DP
树形DP求最少能将一棵树分为多少条链.
采用像极了CF633F的思路,设\(DP[i][0]\)表示最少能将\(i\)的子树分为多少条链,\(DP[i][1]\)表示在\(i\)的子树中有一条可以向上继续拓展的链的情况下,最少能将\(i\)的子树分为多少条链.
如果我们令\(1\)节点为树根,答案即为\(DP[1][0]\).
状态转移方程:
如果我们记\(F(u)=DP[u][1]-DP[u][0]\).那么:
\[DP[u][1]=\min(F(v)) +\sum_vDP[v][0]\quad (v\in son(u))\]
\(\min(F(v)\)的含义是,找一条可以向上继续拓展的链,使它继续向上扩展.
\[DP[u][0]=\min(F(v))+ \min2(F(v)) +\sum_vDP[v][0]\quad (v\in son(u))\]
其中\(\min2()\)表示非严格次小值.
\(\min(F(v))+ \min2(F(v))\)的含义是,找两条可以继续向上扩展的链,在\(u\)点把他们接在一起.
代码:
#include<bits/stdc++.h>
const int SIZE=200005,INF=0x3F3F3F3F;
int head[SIZE],nex[SIZE],to[SIZE],P,DP[SIZE][2];
void Link(int u,int v)
{
nex[++P]=head[u];head[u]=P;to[P]=v;
nex[++P]=head[v];head[v]=P;to[P]=u;
}
int F(int u){return DP[u][1]-DP[u][0];}
void DFS(int u,int Fa)
{
int min1=INF,min2=INF,Cnt=0,sum=0;
for(int i=head[u];i;i=nex[i])
{
int v=to[i];
if(v==Fa)continue;
DFS(v,u);
++Cnt;
sum+=DP[v][0];
if(min1>F(v))min1=F(v);
else if(min2>F(v))min2=F(v);
}
if(Cnt==0)DP[u][1]=DP[u][0]=1;
else if(Cnt==1)DP[u][1]=DP[u][0]=std::min(sum+1,sum+min1);
else
{
DP[u][1]=sum+min1;
DP[u][0]=std::min(sum+min1+min2-1,DP[u][1]);
}
}
int main()
{
int n,u,v;
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<n;i++)
{
scanf("%d%d",&u,&v);
Link(u,v);
}
DFS(1,0);
printf("%d",2*DP[1][0]-1);
return 0;
}思路2 贪心
本题贪心过程非常巧妙,可以通过DFS遍历整棵树,回溯时,如果一个节点的度数\(>2\),就删掉多余的点,优先删父节点,这样可以使回溯到父节点时的答案更优,这一步答案也不会更劣.