定义域值域习题

前言

相关链接

• 1、求函数的定义域；

• 2、求函数的值域；

典例剖析

例1 【2019贵阳检测】下列函数中，同一个函数的定义域和值域相同的函数是【】

$A.y=\sqrt{x-1}$ $B.y=lnx$ $C.y=\cfrac{1}{3^x-1}$ $D.y=\cfrac{x+1}{x-1}$

分析：对于选项\(A\)，函数\(y=\sqrt{x-1}\)，由\(x-1\geqslant 0\)得到定义域为\([1,+\infty)\)，类比函数\(y=\sqrt{x}\)，可知其值域为\([0,+\infty)\)；故不选\(A\);

对于选项\(B\)，函数\(y=lnx\)，定义域为\((0,+\infty)\)，值域为\(R\)；故不选\(B\);

对于选项\(C\)，函数\(y=\cfrac{1}{3^x-1}\)，由\(3^x-1\neq 0\)得到\(3^x\neq 1=3^0\)，故定义域为\((-\infty,0)\cup (0,+\infty)\)，求解值域时可以这样作，令\(3^x-1=t\)，则可知\(t>-1\)，故原函数的值域等价于求\(y=\cfrac{1}{t}(t>-1)\)的值域，可知其值域为\((-\infty，-1)\cup (0,+\infty)\)；故不选\(C\);

对于选项\(D\)，函数\(y=y=\cfrac{x+1}{x-1}\)，由\(x-1\geqslant 0\)得到定义域为\((-\infty，1)\cup (1,+\infty)\)，又\(y=\cfrac{x+1}{x-1}=1+\cfrac{2}{x-1}\)，由于\(\cfrac{2}{x-1}\neq 0\)，故\(y\neq 1\)，可知其值域为\((-\infty，1)\cup (1,+\infty)\)，故选\(D\);