[HDU6598] Harmonious Army（网络流方程建图）

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题目

Harmonious Army

题意

你有 $n(n\leq 500)$个士兵，每个士兵需要安排一个职位（法师或战士），另给定 $m$对士兵，对于其中的一对 $u_i,v_i$，如果都选战士，战队的攻击力会提高 $a_i$点（ $4~|~a_i$）；如果都选法师，攻击力提高 $c_i$点（ $3~|~c_i$）；如果一个战士一个法师，攻击力提高 $b_i$点（ $b_i=\dfrac{a_i}{4}+\dfrac{c_i}{3}$），问战队攻击力最多提升多少点。

分析

这类“二元分配，组合加成”的问题，一般可以用总和（即所有 $a$、 $b$、 $c$之和）减最小割完成，建图如下：

我们的目的是使不同割法对应不同选法的损失。
图中的 $1$、 $2$是两个有加成关系士兵，割 $x$表示 $1$选战士，割 $m$表示 $1$选法师；割 $y$表示 $2$选战士，割 $n$表示 $2$选法师。于是有这几种情况：

• 割 $x$和 $y$，则损失的战斗力是 $b+c$，所以 $x+y=b+c$；
• 割 $m$和 $n$，则损失的战斗力是 $a+b$，所以 $m+n=a+b$；
• 割 $x$和 $n$或者割 $y$和 $m$，这时由于 $z$的存在，图还是联通的，所以必须再割 $z$，所以 $x+n+z=y+m+z=a+c$。

注意你可能觉得还有其他割法，但是，由于边权必须是正数（最大流最小割不能跑负容量），所以显然割集 $S$一定比 $S'$优（ $S\subsetneqq S'$），所以只有上述几种情况。

联立得到（不定）方程组：
$\begin{cases} x+y=b+c\\ m+n=a+b\\ x+n+z=a+c\\ y+m+z=a+c \end{cases}$
其中 $a$、 $b$、 $c$是常数。
找到一组解：
$\begin{cases} x=y=\dfrac{b+c}{2}\\ m=n=\dfrac{a+b}{2}\\ z=\dfrac{a+c}{2}-b \end{cases}$
于是按这个建边即可，注意先乘 $2$使边权为整数。
（题目中 $b$的奇怪的表达式应该只是让 $z>0$吧= =）

代码

#include<queue>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;

int read(){
    int x=0;bool f=0;char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9') f|=c=='-',c=getchar();
    while(c>='0'&&c<='9') x=x*10+(c^48),c=getchar();
    return f?-x:x;
}

int N,M;

#define MAXN 50000
#define MAXM 1000000
#define INF int(1e9)
#define LL long long
struct Edge{
    int v,w,Next;
}E[MAXM+5];
int Adj[MAXN+5],ecnt;
void AddEdge(int u,int v,int w){
    E[ecnt].v=v,E[ecnt].w=w,E[ecnt].Next=Adj[u],Adj[u]=ecnt++;
    E[ecnt].v=u,E[ecnt].w=0,E[ecnt].Next=Adj[v],Adj[v]=ecnt++;
}

int Cur[MAXN+5];
int Dist[MAXN+5];
bool bfs(int T){
    for(int i=0;i<=T;i++)
        Cur[i]=Adj[i],Dist[i]=-1;
    queue<int> Q;
    Q.push(0),Dist[0]=0;
    while(!Q.empty()){
        int u=Q.front();Q.pop();
        for(int i=Adj[u];i!=-1;i=E[i].Next){
            int v=E[i].v;
            if(E[i].w&&Dist[v]==-1){
                Dist[v]=Dist[u]+1;
                Q.push(v);
            }
        }
    }
    return Dist[T]>=0;
}
int dfs(int u,int T,int Min){
    if(!Min||u==T)
        return Min;
    int Rest=Min,Now;
    for(int &i=Cur[u];i!=-1;i=E[i].Next){
        int v=E[i].v,w=E[i].w;
        if(Dist[v]==Dist[u]+1&&(Now=dfs(v,T,min(Rest,w)))){
            Rest-=Now,
            E[i].w-=Now,
            E[i^1].w+=Now;
            if(!Rest)
                break;
        }
    }
    return Min-Rest;
}
LL Dinic(int T){
    LL ret=0;
    while(bfs(T))
        ret+=dfs(0,T,INF);
    return ret;
}

int main(){
    while(~scanf("%d%d",&N,&M)){
        ecnt=0;
        for(int i=0;i<=N+1;i++)
            Adj[i]=-1;
        LL Sum=0;
        for(int i=1;i<=M;i++){
            int u=read(),v=read(),A=read()*2,B=read()*2,C=read()*2;
            Sum+=A+B+C;
            AddEdge(0,u,(A+B)/2),AddEdge(0,v,(A+B)/2);
            AddEdge(u,N+1,(B+C)/2),AddEdge(v,N+1,(B+C)/2);
            AddEdge(u,v,(A+C)/2-B),AddEdge(v,u,(A+C)/2-B);
        }
        printf("%lld\n",(Sum-Dinic(N+1))/2);
    }
    return 0;
}