洛谷 P2530 [SHOI2001]化工厂装箱员
题目描述
118号工厂是世界唯一秘密提炼锎的化工厂，由于提炼锎的难度非常高，技术不是十分完善，所以工厂生产的锎成品可能会有3种不同的纯度，A：100%，B：1%，C：0.01%，为了出售方便，必须把不同纯度的成品分开装箱，装箱员grant第1次顺序从流水线上取10个成品（如果一共不足10个，则全部取出），以后每一次把手中某种纯度的成品放进相应的箱子，然后再从流水线上顺序取一些成品，使手中保持10个成品（如果把剩下的全部取出不足10个，则全部取出），如果所有的成品都装进了箱子，那么grant的任务就完成了。
由于装箱是件非常累的事情，grant希望他能够以最少的装箱次数来完成他的任务，现在他请你编个程序帮助他。
输入格式
第1行为n（1<=n<=100），为成品的数量
以后n行，每行为一个大写字母A，B或C，表示成品的纯度。
输出格式
仅一行，为grant需要的最少的装箱次数。
输入输出样例
输入 #1复制
输出 #1复制
题解：
一道最优化题，而且有状态有转移，我们考虑DP。
特意请教了大佬@JZYShuraK，什么时候我们考虑DP呢？首先是DP计数（数数题恶心得要命）然后是最优化题，尤其是，那种不需要了解过程，只需要输出结果的（比如本题，我们压根不需要知道到底什么时候拿走了什么、多少物品，只需要知道最少拿多少次（即我们要统计的答案））。这个时候可以果断选择DP。
注意到这道题的数据范围：N是1-100的。这个数据范围甚至可以支持我们跑\(O(n^4)\)的算法，无论是时间复杂度还是空间复杂度都是如此。这道题一开始把我难住的一个点是状态的设置。总觉得怎么设置都很令人不满意。后来终于恍然：一维两维搞不清楚状态，多开几维不就成了？反正空间够用。
那么，我们的状态便设置成：
\(dp[i][j][k][m]\)表示一共\(i\)个物品，手中还剩\(j\)个\(A\)，\(k\)个\(B\)，\(m\)个\(C\)时的最小装箱次数。
然后我们考虑初值和答案：因为要求最小值，所以答案显然设置成最大值。特殊地，不难发现，\(dp[0][0][0][0]=0\)。而根据状态，我们的最终答案就是：\(dp[n][0][0][0]\)。
接下来就是状态转移了：
在我们设计一个\(DP\)算法的时候，我们需要牢记：\(DP\)算法的实质其实是一个决策的过程，也就是说，对于每一个状态和阶段，我们如何去根据具体的情况而选择一个当前情况下的最优决策。而由于\(DP\)的无后效性的影响，这个决策是不会影响到下一个决策的，也就是说，我们每一次进行决策的时候都选择了最优的一种情况，那么最后的答案显然就是最优的。
那么针对于本题，我们的决策应该是什么呢？
就是：放还是不放。即取出来先在手中存着，还是取出来直接放进去。
于是我们就发现，对于第\(i\)件物品，如果我们存着的话，那么有：
\[ dp[i][j][k][m]=dp[i-1][j-1][k][m] \]
（此处演示的是第\(i\)件物品为\(A\)的情况，其他情况同理）
如果装箱的话：
\[ dp[i][0][k][m]=min(dp[i][0][k][m],dp[i][j][k][m]+1); \]
（注意，因为我们每次装箱要装进去所有的同种物品，所以第二维是0）
在我们枚举的时候，还要考虑\(j+k+m\le 10\)。
代码如下：
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
int n;
int dp[110][11][11][11];
char opt[110];
int main()
{
memset(dp,0x3f,sizeof(dp));
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)
cin>>opt[i];
dp[0][0][0][0]=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=0;j<=10;j++)
for(int k=0;k<=10;k++)
for(int m=0;m<=10;m++)
{
if(j+k+m>10)
continue;
if(opt[i]=='A' && j)
dp[i][j][k][m]=dp[i-1][j-1][k][m];
if(opt[i]=='B' && k)
dp[i][j][k][m]=dp[i-1][j][k-1][m];
if(opt[i]=='C' && m)
dp[i][j][k][m]=dp[i-1][j][k][m-1];
dp[i][0][k][m]=min(dp[i][0][k][m],dp[i][j][k][m]+1);
dp[i][j][0][m]=min(dp[i][j][0][m],dp[i][j][k][m]+1);
dp[i][j][k][0]=min(dp[i][j][k][0],dp[i][j][k][m]+1);
}
printf("%d",dp[n][0][0][0]);
return 0;
}